文档介绍：三角形垂心的性质总结
三角形的垂心定理:在三角形ABC中,求证:它的三条高交于一点。
证明:如图:作BE于点E,CF^AB于点F,且BE交CF于点H,连接AH并延长交BC于点D。现在我们只要证明AD^BC即可。
因为CF^AB,BE
所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB
由∠FAH=∠FCB得
四边形AFDC为圆内接四边形
所以∠AFC=∠ADC=90°
即AD^BC。
点评:以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1:
锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图,在三角形ABC中,AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高,D、F、E分别为垂足,H为三角形ABC的垂心。求证:H为三角形DFE的内心。
证明:要证H为三角形DFE的内心,只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
    由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC  (都是弧CE所对的圆周角)
    由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC   (都是弧HD所对的圆周角)
所以∠EFH=∠HFD   所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED;HD平分∠FDE
   所以H为三角形DFE的内心。
点评:以上两个问题都用到了四点共圆。因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形,你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示:
在中,若点O满足,则点O为三角形ABC的垂心。
   证明:由得,所以。
同理OB,,则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2:
若三角形的三个顶点都在函数的图象上,则它的垂心也在这个函数图象上。
证明:设点O(x,y)为的垂心,则上面的向量表示得
因为的三个顶点都在函数的图象上,所以设,
因为,所以
所以
所以                        (1)
同理:由得         (2)
联立(1)(2)两式,就可解出 
显然有垂心O在函数的图象上。
点评:此题恰当地应用了垂心的向量表示,把几何问题转化成了代数问题,完美体现了数形结合的数学思想。
(2005年全国一卷理科)的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数m =       
 
分析:H显然为的垂心,我们可取特殊情况来猜想m的值。于是我取为直角三角形,角A为直角,此时H点与A点重合,且O为BC的中点(如图所示)。此时,于是猜想m=1.
而对于一般情况,上面问题,我们不妨称之为三角形的垂心性质定理3:
的外心为O,垂心为H,则。
证明:作出的外接圆和外接圆直径AD,连接BD,CD。
因为直径所对圆周角为直角,所以有,
     因为H为的垂心,所以
所以HC//BD,BH//DC,所以四边形BDCH为平行四边形,所以。
    因为,且
所以。
点评:这条性质联系了三角形的外心与垂心,所得向量关系也相当简洁。以此为背景出高考题,也确实体现了命题者深厚的知识功底。
三角形垂心性质定理3:
三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍。
即:的外心为O,垂心为H,D为BC中点,则AH=2