文档介绍：√关于:向量空间的基向量
①称为的标准基,中的自然基,单位坐标向量;
②线性无关;
③;
④;
⑤任意一个维向量都可以用线性表示.
√行列式的计算:
①若都是方阵(不必同阶),则
②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.
③关于副对角线:
√逆矩阵的求法:
①
②
③
④
⑤
√方阵的幂的性质:
√设,对阶矩阵规定:为的一个多项式.
√设的列向量为,的列向量为,的列向量为,
√用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量;
用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.
√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,
与分块对角阵相乘类似,即:
√矩阵方程的解法:设法化成
当时,
√和同解(列向量个数相同),则:
①它们的极大无关组相对应,从而秩相等;
②它们对应的部分组有一样的线性相关性;
③它们有相同的内在线性关系.
√判断是的基础解系的条件:
①线性无关;
②是的解;
③.
零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.
单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.
部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关.
原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关.
两个向量线性相关对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关.
向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.
向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.
向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.
维列向量组线性相关;
维列向量组线性无关.
.
若线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一.
矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.
阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.
向量组等价和可以相互线性表示. 记作:
矩阵等价经过有限次初等变换化为. 记作:
矩阵与等价作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价.
矩阵与作为向量组等价
矩阵与等价.
向量组可由向量组线性表示≤.
向量组可由向量组线性表示,且,则线性相关.
向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.
向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价;
任一向量组和它的极大无关组等价.
向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.
若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
若是矩阵,则,若,的行向量线性无关;
若,的列向量线性无关,即:
线性无关.
线性方程组的矩阵式向量式
矩阵转置的性质:
矩阵可逆的性质:
伴随矩阵的性质:
线性方程组解的性质:
√设为矩阵,若,则,从而一定有解.
当时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关.
是的上限.
√矩阵的秩的性质:
①
②≤
③≤
④
⑤
⑥≥
⑦≤
⑧
⑨
⑩且在矩阵乘法中有左消去律:
标准正交基个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
.
是单位向量.
√内积的性质: ①正定性:
②对称性:
③双线性:
施密特线性无关,
单位化:
正交矩阵.
√是正交矩阵的充要条件:的个行(列)向量构成的一组标准正交基.
√正交矩阵的性质:①;
②;
③是正交阵,则(或)也是正交阵;
④两个正交阵之积仍是正交阵;
⑤正交阵的行列式等于1或-1.
的特征矩阵.
的特征多项式.
的特征方程.
√上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.
√若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.
√
√若,则一定可分解为=、,从而的特征值为:, .
√若的全部特征值,是多项式,则:
①的全部特征值为;
②当可逆时,的全部特征值为,
的全部特征值为.
√
√
与相似(为可逆阵) 记为:
√相似于对角阵的充要条件:恰有个线性无关的特征向量. 这时,为的特征向量拼成的矩阵,为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.