文档介绍：高考数学专题复习讲座
专题1:函数与方程
函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,一个函数若有解析表达式y = f (x),那么这个解析表达式可以看成是一个方程,一个二元方程,两个变量间存在着对应关系,如果这个对应关系是函数的话,那么这个方程可以看成是一个函数;一个一元方程,它的两端可以分别看作函数,方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。
因此,许多有关方程的问题可以用函数的方法去解决;反之,许多有关函数的问题也可用方程的方法去解决。
函数思想,即先构造函数,把给定问题转化对辅助函数的性质研究,得出所需的结论。方程思想,就是把对数学问题的认识,归纳为对方程和方程组的认识。
对于函数思想,应深刻理解一般函数y=f(x)、的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值和图像变换)。熟练掌握基本初等函数的性质,是应用函数思想解题的基础。
函数方程思想常同数形结合、等价转化思想相互融合后才能充分发挥其具体解题的功效。
【例题解析】
(1)已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},集合B={x|log2(x2-5x+8)=1},集合C={x|m=1,m≠0,|m|≠1}满足A∩B,A∩C=,求实数a的值;
(2)已知集合P={x|x2-5x+4≤0},Q={x|x2-2bx+b+2≤0}满足PQ,求实数b的取值范围。
解(1)由条件即可得B={2,3},C={-4,2},由A∩B,A∩C=,可知3∈A,2A。
将x=3代入集合A的条件得:
a2-3a-10=0
∴a=-2或a=5
当a=-2时,A={x|x2+2x-15=0}={-5,3},符合已知条件。
当a=5时,A={x|x2-5x+6=0}={2,3},不符合条件“A∩C”=,故舍去。
综上得:a=-2。
(2)显然P={x|1≤x≤4},记f(x)=x2-2bx+b+2
若Q为空集,则由Δ<0得:
4b2-4(b+2)<0 ∴-1<b<2。
若Q不是空集,则应满足
即
解之得:2≤b≤
综上得:-1<b≤
注对于稍复杂的某些集合题目,一定要全面考虑并仔细审题,防止解的取值扩大或缩小。本题的第(1)题,在“由3∈A求得a=-2或5”后,应清楚3∈A是其必要条件,但不是充分条件,因此必须进行检验,否则解的取值可能扩大。而第(2)小题,应该分两类(,)讨论,千万不能遗忘这一特殊情形。
已知A、B是ABC的两个内角,且tgA、tgB是方程的两个实根,求实数m的取值范围。
分析,依题意知tgA + tgB =-m
tgA ·tgB = m + 1

∴方程的两个实根均在(0, 1)内,下面将方程转化为函数,求m的取值范围。
令= ,函数与x轴有两个交点,且交点在(0, 1)内,
又函数的对称轴方程为

设是函数的反函数图象上不同的三点,若使y1、y2、y3成等差数列的实数x有且仅有一个,求实数a的取值范围。
分析:函数的反函数为

故问题转化为方程只有一个实根时,求a的取值范围。
方程等价于

(1)当,满足x > a,
∴满足条件。
(2)当
∵满足条件,故
。
由,解得a > 0
又当a = 0时,P、Q、R三点重合,故a0
∴当a > 0或时,方程只有一个实根,
∴所求a的范围是a > 0或。
已知函数f(x)的定义域为R,且对于一切实数x满足
f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x)
(1)若f(5)=9,求:f(-5);
(2)已知x∈[2,7]时,f(x)=(x-2)2,求当x∈[16,20]时,函数g(x)=2x-f(x)的表达式,并求出g(x)的最大值和最小值;
(3)若f(x)=0的一根是0,记f(x)=0在区间[-1000,1000]上的根数为N,求N的最小值。
解:(1)由f(x+2)=f(2-x)及f(x+7)=f(7-x)得:f(x)的图像关于直线x=2,x=7对称。
∴ f(x)=f[(x-2)+2]
=f[2-(x-2)]=f(4-x)
=f[7-(3+x)]=f(7+(3+x))
=f(x+10)
∴f(x)是以10为周期的周期函数。
∴f(-5)=f(-5+10)=f(5)=9
(2)当x∈[16,17],x-10∈[6,7]
∴f(x)=f(x-10)=(x-10-2)2=(x-12)2
当x∈(17,20,x-20∈(-3,0,4-(x-20)∈[4,7
∴f(x)=f(x-20)=f[4-(x-20)]
=f(24-x)=(x-22)2
∴g(x)=
∵x∈[16,17]时,g(x)最大值为16,最小值为9;x∈(17,20,g(