文档介绍：《数值分析》
期末总结
考试题型
一、填空题
其目的是考核同学们对数值分析中基本概念、基本定理的理解;
主要考核内容为基本概念、基本定理、定理或算法应用条件等内容
例如:误差配置原则中的内容;收敛条件等
二、计算题
需要掌握算法的内容、应用条件、误差分析等内容。
计算过程可以使用计算器,但是要求同学要具备计算熟练性
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第一章数值计算中的误差
1 误差
(1) 绝对误差(限)、相对误差(限)
(2) 有效数字
2 算术运算中的误差
加法(减法)、乘法
3 误差的来源与分类(舍入误差和截断误差)
4 误差分配原则与处理方法
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绝对误差与相对误差
绝对误差
设A是精确值,a是近似值,则定义两者之差=a-A为近似数a的绝对误差
绝对误差限
||=|a-A|<(上界),称为绝对误差限
相对误差
绝对误差与精确值之比A= /A为相对误差
相对误差限
|A|=|/A|<η(上界),称为相对误差限
绝对误差和相对误差有关系:=a A
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有效数字
舍入方法
将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法称为舍入方法
截断法
四舍五入法
四舍五入法的|Δ|≤-n,在a的最末一位上有半个单位误差
实际应用中按四舍五入的原则取近似值是使用最广的取近似值的方法。
用四舍五入获得的近似值,可用有效数字来刻画
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有效数字
如果近似数a的绝对误差是某一位的半个单位,且该位直到a的第一位非零数字一共有n位,则称近似数a有n位有效数字,a为具有n位有效数字的有效数。
x*=……
最左边不为零的数
误差不超过该位数的半个单位
n个有效数字
例如:
表示:,有3位有效数字。
绝对误差限、相对误差限和有效数字的关系
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要求
明确数据误差在算术运算中的传播规律并对结果误差进行估计
估计方法
设x为x*的近似值,y为y*的近似值,则Δx=x-x*, Δy=y-y*。
实际中常取误差的主部,采用微分方式表达,即dx≈Δx, dy≈Δy,
对于算术运算中的结果误差可按微分公式近似估算
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加减的绝对误差限等于各数的绝对误差限之和
C=xy
dC|dxdy| |dx|+|dy| x+ y,
乘积运算的相对误差为各乘数的相对误差之和,其相对误差限等于各乘数相对误差限之和
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模型误差
观测误差
截断误差
求解数学模型所用的数值计算方法如果是一种近似的方法,那么得到的是数学模型的近似解,由此产生的误差称为截断误差。
舍入误差
由于计算机的字长有限,参加运算的数据以及运算结果在计算机上存放会产生误差。这种误差称舍入误差或者计算误差。
3 误差的来源与分类
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4 误差的分配原则与处理方法
误差配置原则
计算模型的近似解相对于参数模型精确解的总误差=截断误差+舍入误差,即= R+
R
误差的处理方法
1. 给定运算误差,确定参与运算的数值字长
2. 近似式的项数已定而字长待定
3. 总误差给定,要求确定项数和数值字长.
4. 数值字长已定,待定近似式项数
= R+
R
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