文档介绍：第十八章勾股定理
本章小结
小结1 本章概述
本章主要学习勾股定理、——勾股定理,又由生活实例及三角形全等方法验证由三边关系得到直角三角形——,同时了解定理、互逆命题、互逆定理的相关内容.
小结2 本章学习重难点
【本章重点】会灵活运用勾股定理进行计算及解决一些实际问题;掌握勾股定理的逆定理的内容及其证明过程,并会应用其解决一些实际问题.
【本章难点】掌握勾股定理探索过程,并掌握其适用范围;理解勾股定理及其逆定量.
【学习本章注意的问题】
在学习本章内容的过程中,:(1)直接法;(2)转化法;(3)构造图形法(即构造直角三角形以达到解题的目的);(4)图形结合法;(5)数形结合法;(6)方程的思想方法.
小结3 中考透视
直角三角形
勾股定理
拼图法验证
应用
勾股定理的逆定理
判断直角三角形
勾股数
应用
本节知识在中考中以考查已知直角三角形的两边求第三边,,一般以选择题、填空题或解答题的形式出现,有时也与其他知识一起综合命题.
知识网络结构图
专题总结及应用
知识性专题
专题1 勾股定理及其逆定理的应用
【专题解读】要证明以三条线段(或线段所在的直线)为边的三角形是直角三角形,应设法求出三边的长或关系式,利用勾股定理的逆定理证明.
例1 如图18-69所示,在等腰直角三角形ABC的斜边上取两点M,N,使∠MCN=45°,设AM=a,MN=x,BN=b,判断以x,a,b为边长的三角形的形状.
分析要判断三角形的形状,就应设法将x,a,b放到一个三角形中,由于∠MCN=45°,因此可过点C作CD⊥MC,截取CD=CM,这样就可以得到全等的三角形,并把
x,a,b放到一个三角形中,进而利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
解:作CD⊥CM,且CD=CM,连接ND,BD,
∵AC⊥BC,CD⊥CM,∴∠ACB=∠MCD=90°.∴∠ACM=∠BCD.
又∵AC=BC,CM=CD,∴△CAM≌△CBD.
∴∠CBD=∠A=45°,AM=BD=a.
∴CM=CD,∠MCN=∠DCN=45°,,
∴△MCN≌△DCN. ∴ND=MN=x.
∴∠CBA=∠CBD=45°, ∴∠NBD=∠CBA+∠CBD=90°.
∴NB2+BD2=ND2,即b2+a2=x2,
∴△NBD为直角三角形,即以x,a,b为边长的三角形是直角三角形.
【解题策略】巧用已知条件构造全等三角形,将线段x,a,b放到一个三角形中,为应用勾股定理的逆定理创造了条件.
例2 李老师让同学们讨论这样一个问题:如图18-70所示,有一个长方体盒子,底面正方形的边长为2 cm,高为3 ,它想吃到上底面的F点处的食物,则怎样爬行路程最短?最短路程是多少?
过了一会儿,李老师问同学们答案,甲生说:先由A点到B点,:我认为应由A先走对角线AC,:将长方形ABCD与长方形BEFC展开成方长形ABFG,?还有其他方法吗?若有,请叙述出来,并说明理由.(参考数据:29≈)
分析要使蚂蚁爬行的路程最短,可直接连接AF,再求出AF,但AF在盒子里面,不符合题目要求,甲生和乙生的方法类似,只是顺序不同;丙生和丁生的方法类似,只是长方形的长、宽不同,若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线,则发现丙生和丁生的办法都符合要求,但究竟哪个路程最短,就需要计算了.
解:按丙生的办法:将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD,如图18-71所示,
则AE=AB+BE=4 cm,EF=3 cm,连接AF,
在Rt△AEF中,AF2=AE2+EF2=42+32=25,
∵AF=5 ,
∵AF<AB+BF,∴丙的方法比甲的好.
按丁生的办法:将长方形ABCD与正方法CFGD展开成长方形ABFG,如图18-72所示,
则BF=BC+CF=3+2=5(cm),AB=2 cm,连接AF.
在Rt△ABF中,AF2=BF2+AB2=52+22=29≈,
∴AF≈(cm).连接AC,
∵AF<AC+CF,∴丁的方法比乙的好.
比较丙生与丁生的计算结果,丙生的说法正确.
规律方法专题
专题2 利用勾股定理解决折叠问题
【专题解读】折叠问题与轴对称和图形全等是