文档介绍：构设平面向量解题
宁波市鄞州中学朱达峰邮编 315101
向量是数学中的一个重要概念之一,它是从物理学和工程技术中抽象出来的,连同它的运算法则、性质都源于实践;反过来向量的理论和方法又为解决实际问题提供了有力工具,运用向量的方法解决一些平面几何、立体几何、代数、物理等问题,而且其解题过程往往显得简捷明快。
运用向量方法解题的一般步骤:先构设一些基本向量,然后明确问题目标的相应向量表示形式,最后是进行必要的向量运算,从而得到问题的结果。运用平面向量主要可以解决下列几个方面的问题
一、几何问题:常见的类型有平行、垂直的判定,几何图形形状的判定、线段的比值等等。
例1 已知以两边为边向外作正方形和正方形,为的中点;求证:
分析要证,只需证,这里有两个正方形,有许多垂直关系,利用这些垂直关系就可以得证。
证明且
,则
,
,故有
例2 已知平行四边形边中点为,为上的一点,且,与交于,求的值
分析可设,把向量表示出来,利用点共线进行求解
解设,则
由于点共线,则有即
,则故,知
二、代数问题:常见的类型有不等式的证明、三角形角度求解、最值问题等等。
例3 求证:
分析是两个向量的数量积的坐标形式,是两个向量的模的乘积,可以得到下列证明。
证明设,的夹角为,则
,又
则有
结论可推广为
例4 在内求一点,使的值最小
分析根据已知条件,可构设两个基本向量,把表示成关于变化向量的函数,最后求出这个函数的最值
解设,则根据向量运算的意义知时,有最小值,设点为的中点,因
当时,,即为的重心时的值最小。
三、实际问题:常见类型有实际应用题、物理学问题等。
例5 一自行车以的速度向北行驶,这时骑车人感觉风自正西方向吹来,但站在地面上测得风自西偏北方向吹来,试求:(1)风相对于车的速度;(2)风相对于地的速度
分析根据题意可知(其中
分别表示风对车、车对地、风对地的速度)
解依题,作速度向量图,已知,方向正北;夹角为,因此(1)风相对于车的速度大小为
(2)风相对于地面的速度大小