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应用平面向量基本定理解题举例
秭归一中数学组周宗圣
向量融数、形于一体，具有几何与代数形式的双重身份，因此向量的引入与应用极大地拓宽了解题的思想与方法。其解题方法归纳如下：
:将题目已知条件转化成形式，其中、不共线，则.
例1：设、、为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知+与共线，且+与共线，试问与+是否共线？并证明你的结论.
证明：∵与共线，∴存在唯一实数，使得=①
又+与共线，∴存在唯一实数，使得=②
①-②：-=-,
又与不共线，∴,
代入①：=-，故与+共线.
G
：构造某向量在同一组基底下的两种不同表示形式，即（不共线），则 .
例2：在△ABC中，BD=DC，AE=2EC，求和.
解：设，,
∵D是BC的中点，∴,
又AG=GD，∴,
又AE=2EC，∴,
∵BG=GE，∴,
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∴,
故 ,
故，.
总结：用平面向量基本理解题的步骤可概括为：
第一步：选择适当的两个不共线向量作为一组基底,
第二步：用两种不同的形式表示同一向量(一般要将向量集中到同一三角形中),
第三步：利用平面向量基本定理列方程组并求解,
第四步：答题.
：构造关于基底的实系数方程组，即若，
则，化简求解.
例3：如图，，与的夹角为120○，与夹角为30○，，试用、表示
解：设,
∴
化简得.
同理可得:.
解得：，，故.
总结：在此解法中，应用了下列推理：.

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T1：设点P是△ABC内一点，，延长CP交边AB于点Q，设，用表示.
T2：已知