相似变换矩阵P.ppt

文档介绍：★相似矩阵、相似变换
★矩阵相似对角阵
§3 相似矩阵
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对角阵是矩阵中最简单的矩阵类型,本节通过
引入相似变换的概念,从而讨论了什么类型的矩阵
能够相似对角化,以及如何判断一个矩阵能够相似
对角化。
定义7 设 A 、B 都是 n 阶方阵,若有可逆方阵 P,使
则称 B 是 A 的相似矩阵。或者说矩阵 A 与B 相似。对A进行运算 P-1AP 称为对 A 进行相似变换。可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换阵。
相似矩阵与相似变换
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证因 A 与 B 相似,即有 P,使 P-1AP = B。故
定理3 若 n 阶方阵 A 与 B 相似,则 A与 B 的特征多项式相同,从而 A 与 B 的特征值也相同。
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推论若 n 阶方阵A与对角阵
相似,则λ 1 , λ2 ,…, λn 即是A 的 n 个特征值。
证因λ 1 , λ2 ,…, λn 是Λ的 n 个特征值,由定理 3 知λ 1 , λ2 ,…, λn 也就是 A 的 n 个特征值。
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这是因为若A 与对角阵相似,即有可逆矩P ,使
问题:对于 n 阶方阵 A,如何寻找相似变换矩阵 P,使 P-1AP = Λ成为对角形。
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假设已经找到了可逆阵 P ,使 P-1AP = Λ为对角阵,我们来讨论 P 应满足什么关系?
把 P 用其列向量表示为
则由 P-1AP = Λ,得 AP = PΛ,即
矩阵相似对角矩阵的充要条件
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可见λi 是 A 的特征值,而 P 的列向量 pi 就是 A 的对应于特征值λi 的特征向量。
反之,因 A 在复数范围内必有 n 个特征值,并可对应地求出 n 个特征向量,这 n 个特征向量即可构成矩阵 P ,使 AP = PΛ。
如果 P 可逆,就有 P-1AP = Λ,即 A 与对角阵相似。
余下的问题是:P 是否可逆?
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定理4 n 阶方阵 A 与对角阵相似(即 A 能对角化)的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量。
推论如果 n 阶方阵 A 的 n 个特征值互不相等,则 A 与对角阵相似。
当 A 的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关的特征向量,从而不一定能对角化。
例如上节例 6 中A 的特征方程有重根,确定找不到 3 个线性无关的特征向量,因此这个矩阵A 不能对角化;
而上节例 7 中A 的特征方程也有重根,但却能找到 3 个线性无关的特征向量,因此这个矩阵A 能对角化。
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注意:并不是任一矩阵都能对角化的。
一个方阵具备什么条件才能对角化?这是个复杂的问题。
例9
判断矩阵
是否与对角阵相似。
解
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