文档介绍：典型例题一
例1 解不等式:(1);(2).
分析:如果多项式可分解为个一次式的积,则一元高次不等式(或)可用“穿根法”求解,但要注意处理好有重根的情况.
解:(1)原不等式可化为
,其解集如下图的阴影部分.
∴原不等式解集为
(2)原不等式等价于
∴原不等式解集为
说明:用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中的系数必为正;②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式,也可直接用“穿根法”,但注意“奇穿偶不穿”,其法如下图.
典型例题二
例2 解下列分式不等式:
(1); (2)
分析:当分式不等式化为时,要注意它的等价变形
①
②
(1)解:原不等式等价于
用“穿根法”
∴原不等式解集为。
(2)解法一:原不等式等价于
∴原不等式解集为。
解法二:原不等式等价于
用“穿根法”
∴原不等式解集为
典型例题三
例3 解不等式
分析:解此题的关键是去绝对值符号,而去绝对值符号有两种方法:一是根据绝对值的意义
二是根据绝对值的性质:或,因此本题有如下两种解法.
解法一:原不等式
即
∴或
故原不等式的解集为.
解法二:原不等式等价于
即∴.
典型例题四
例4 解不等式.
分析:这是一个分式不等式,其左边是两个关于二次式的商,由商的符号法则,它等价于下列两个不等式组:
或
所以,.
解法一:原不等式等价下面两个不等式级的并集:
或
或
或
或或.
∴原不等式解集是.
解法二:原不等式化为.
画数轴,找因式根,分区间,定符号.
符号
∴原不等式解集是.
说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,否则会产生误解.
解法二中,“定符号”,最右边区间一定是正值,其他各区间正负相间;也可以先决定含0的区间符号,.
典型例题五
例5 解不等式.
分析:不等式左右两边都是含有的代数式,必须先把它们移到一边,使另一边为0再解.
解:移项整理,将原不等式化为.
由恒成立,知原不等式等价于.
解之,得原不等式的解集为.
说明:.
另外,在解题过程中,对出现的二项式要注意其是否有实根,以便分析不等式是否有解,从而使求解过程科学合理.
典型例题六
例6 设,解关于的不等式.
分析:进行分类讨论求解.
解:当时,因一定成立,故原不等式的解集为.
当时,原不等式化为;
当时,解得;
当时,解得.
∴当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
说明:解不等式时,由于,,原不等式化为,此时不等式的解集为,所以解题时应分与两种情况来讨论.
在解出的两根为,后,认为,:当时,;当时,.
典型例题七
例7 解关于的不等式.
分析:先按无理不等式的解法化为两个不等式组,然后分类讨论求解.
解:原不等式或
由,得:
由判别式,故不等式的解是.
当时,,,不等式组(1)的解是,不等式组(2)的解是.
当时,不等式组(1)无解,(2)的解是.
综上可知,当时,原不等式的解集是;当时,原不等式的解集是.
说明:本题分类讨论标准“,”是依据“已知及(1)中‘,’,(2)中‘,’”,,分类讨论标准(解不等式)大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定.
.
典型例题八
例8 解不等式.
分析:先去掉绝对值号,再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可.
解答:去掉绝对值号得,
∴原不等式等价于不等式组
∴原不等式的解集为.
说明:解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式,然后把不等式等价转化为不等式组,变成求不等式组的解.
典型例题九
例9 解关于的不等式.
分析:不等式中含有字母,:求出方程的根,然后写出不等式的解,但由于方程的根含有字母,故需比较两根的大小,从而引出讨论.
解:原不等式可化为.
(1)当(即或)时,不等式的解集为:
;
(2)当(即)时,不等式的解集为:
;
(3)当(即或1)时,不等式的解集为:
.
说明:对参数