文档介绍：典型例题一
例1 比较与的大小,其中.
解:
,
,
,
,
∴.
说明:由例1可以看出实数比较大小的依据是:①;
②;③.
典型例题二
例2 比较与的大小,其中
解:
,
,
,
,
,
∴当时,;
当时,
说明:两个实数比较大小,通常用作差法来进行,其一般步骤是:第一步:作差;第二步:变形,常采用配方,因式分解等恒等变形手段;第三步:定号,贵州省是能确定是大于0,还是等于0,“三步,—结论”,这里的“变形”一步最为关键.
典型例题三
例3 ,比较与()的大小.
分析:直接作差需要将与()展开,过程复杂,式子冗长,可否考虑根据两个式子特点,予以变形,再作差.
解:∵=()
,
,
∴
.
则有时,()恒成立.
说明:有的确问题直接作差不容易判断其符号,这时可根据两式的特点考虑先变形,到比较易于判断符号时,再作差,予以比较,如此例就是先变形后,再作差.
典型例题四
例4 设,比较与的大小.
解:作差,
1)当时,即,
∴;
2)当,即时,,
∴;
3)当但,即或时,,
∴.
说明:如本题作差,变形,变形到最简形式时,由于式中含有字母,不能定号,.
典型例题五
例5 比较与的大小
分析:两个数是幂的形式,比较大小一般采用作商法。
解:
说明:求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行.
典型例题六
例6 设,且,比较:与的大小。
分析:比较大小一般方法是求差法或求商法,利用不等式的性质进行变形,然后确定大小。
解:
当时,,
当时,
即,
又,
说明:求商法的基本步骤是:①求商,②变形,③与1比大小从而确定两个数的大小.
典型例题七
例7 实数满足条件:①;②;③
,则有( )
A. B.
C. D.
(天津市2001年南开中学期末试题)
分析:先由条件②③分析出与的关系,根据条件利用①用数轴数形结合比出大小.
解:∵,∴与同侧
∵,∴与异侧
∵
∴把标在数轴上,只有下面一种情况
由此得出,∴此题选D.
说明:比较大小时可以借助于数轴,利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置,这样容易看出几个数之间的大小关系,尤其是比较的个数较多时适用.
典型例题八
例8 已知①;②,求:的取值范围.
分析:此题是给代数式的字母的范围,:(1)利用待定系数法将代数式用和表示.(2)利用不等式性质及题目条件确定的范围.
解:设:
由①+②×2得:
:.
说明:此题的一种典型错误做法,如下:
,即:
:
此解法的错误原因是因为与是两个相互联系,相互制约的量,而不是各自独立的,当取到最大值或最小值时,不一定能取到最值,所以用以上方法可能扩大变量的范围.
避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”,见解题过程.
典型例题九
例9 判断下列各命题的真假,并说明理由.
(1)若,则
(2)若,则
(3)若,则
(4)若,则
(5)若,则
(6)若,则
分析:利用不等式的性质来判断命题的真假.
解:(1),是真命题.
(2)可用赋值法:,有,是假命题.
也可这样说明:,
∵,只能确定,
但的符号无法确定,从而的符号确定不了,所以无法得到,实际上有:
(3)与(2)类似,由,从而是假命题.
(4)取特殊值:
有,∴是假命题.
定理3的推论是同向不等式可相加,,即
(5), ∴是真命题.
(6)定理4成立的条件为必须是正数.
举反例:
,则有
说明:在利用不等式的性质解题时,.
典型例题十
例10 求证:
分析:把已知的大小关系转化为差数的正负,再利用不等式的性质完成推理.
证明:利用不等式的性质,得
典型例题十一
例11 若,则下面不等式中成立的一个是( )
(A) (B)
(C) (D)
解:由不等式的性质知:(A)、(B)、(C)成立的条件都不充分,所以选(D),其实(D) 正是异向不等式相减的结果.
说明:本的解法都是不等式性质的基本应用,对于不等式的基本性质要逐条掌握准确,以便灵活应用.
典型例题十二
例12 若,则下面各式中恒成立的是( ).
(A) (B)
(C) (D)
分析本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形,应看到,已知条件中含有两个内容,即,和,根据不等式的性质,可得,,继而得到且,故,因此选A.
典型例题十三
例13 若,则一定成立的不等式是( )
A. B