文档介绍：课题: 反函数(三)
教学目的:
,初步会求非单调函数在各不同单调区间上的反函数,会利用反函数解决相关综合问题
、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力;
,培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯,体会事物之间普遍联系的辩证观点
教学重点:较复杂的函数的反函数的求法及其应用
教学难点:较复杂的函数的反函数的求法及其应用.
授课类型:练习课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
;求反函数的一般步骤分:一解、二换、三注明
互为反函数的两个函数有什么关系:
函数与的图象关于直线对称.
反函数的定义域由原函数的值域得到,而不能由反函数的解析式得到
、、、间的关系:
与、与互为反函数;
与、与为同一函数
二、讲解例题:
例1 求函数y=(x≥0,x≠1)的反函数.
解:⑴由原函数变形为y-y=1+,即=(y-1)/(y+1)--①,
∵≥0,∴(y-1)/(y+1)≥0,解得y<-1或y≥1,
⑵由①两边平方得x=[(y-1)/(y+1)],
⑶∴原函数的反函数是= [(x-1)/(x+1)](x<-1或x≥1);
说明:原函数的值域是借助于变形中的①式:≥0而得到的,对于一个比较复杂的函数,求它的值域时要注意题目中的现有条件.
例2 设函数y==,求它的反函数.
分析:这里给出了分段函数,即在不同的x范围内有不同的表达式,因此,也应在不同的x范围内求其反函数.
解:⑴当x<0时,y=x,其反函数仍是y=x(x<0);
⑵当x≥0时,y=,由y= (x≥0)得x=,又y= (x≥0)的值域为y≥0,∴y= (x≥0)的反函数是y=(x≥0).
⑶由⑴⑵可得=.
例3 已知函数的反函数是(x∈R,x≠2),求a,b,c的值.
解:⑴由(x≠2)解出x=,
∵原函数的值域是y≠3,
∴(x≠2)的反函数是(x≠3,x∈R).
⑵由互为反函数的函数关系知,与是同一函数,∴a=2,b=1,c=-3.
例4 若点A(1,2)既在函数=的图象上,又在的反函数的图象上,求a,b的值.
分析:求a,b,就要有两个关于a,b的方程,如何寻求?
①A(1,2)在图象上,这是很容易看出来的.
②如何用它也在的反函数的图象上呢?
其一,真求反函数,再把A(1,2)代入. 能不能不求反函数?
其二,A(1,2)在反函数图象上,则(2,1)就应在原函数的图象上,即(a,b)满足y=,则(b,a)应满足y=,反之亦然.
解:由A(1,2)在=上,则有--①;
由A(1,2)在其反函数图象上,可知(2,1)也在函数=图象上,∴又有--②,
解联立①②的方程组得a=-3,b=7.
,试求反函数.
分析:当已知函数是一个复合函数时,要求它的反函数,首先要求原来函数解析表达式.
解:令,则,,
代入所给表达式,得+2=,
,∴,即原来函数是.
易求函数的反函数是
.
注:在利用换元解题时,一定要注意新元(中间变量)的取值范围.
三、练习:
=的