文档介绍：课题: 反函数(二)
教学目的:
⒈使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明.
⒉会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.
教学重点:互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明,定理的应用;
教学难点:定理的证明(但教材不作要求).
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
;
:
----定义域、值域相反,对应法则互逆;
:一解、二换、三注明
4. 在平面直角坐标系中,①点A(x,y)关于x轴的对称点(x,-y);
②点A(x,y)关于y轴的对称点(-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点(-x,-y);④点A(x,y)关于y=x轴的对称点(?,?);
(在定义域、值域和对应法则方面). 函数图象是从“形”,互为反函数的函数图象间也必然有一定的关系,今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系.
①的反函数是
②的反函数是
二、讲解新课:

观察讨论函数、反函数的图像,归纳结论:函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称.
(不要求掌握,根据实际情况处理)
证明:设M(a,b)是的图象上的任意一点,
则当x=a时,有唯一的值.
∵有反函数,
∴当x=b时,有唯一的值,
即点(b,a)在反函数的图象上.
若a=b,则M,是直线y=x上的同一个点,它们关于直线y=x对称.
若ab,在直线y=x上任意取一点P(c,c),连结PM,P,M
由两点间的距离公式得:
PM=,P=,
∴PM=P. ∴直线y=x是线段M的垂直平分线,
∴点M, 关于直线y=x对称.
∵点M是y=f(x)的图象上的任意一点,
∴图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数的图象上,由与互为反函数可知,函数图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数的图象上,
∴函数与的图象关于直线y=x对称.
逆命题成立:若两个函数的图象关于直线y=x对称,则这两个函数一定是互为反函数.
:⑴利用对称性作反函数的图像
若的图象已作出或比较好作,那么它的反函数的图象可以由
的图象关于直线y=x对称而得到;
⑵求反函数的定义域求原函数的值域;
⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同
三、讲解例题:
,并利用对称关系作出其反函数的图象.
解:∵原函数的定义域是x<0,值域是y>0,
∴由y=解出,
∴函数的反函数是,
作 y=(x(-∞,0))的图象,再作该函数关于直线y=x的对称曲线,即为函数的图象(如图).
.
分析:灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.
解:∵∴∴ y≠
∴函数的值域为{y|y≠}
例3 已知=(x<-1),求;
解法1:⑴令=y=,∴=--①,∵x<-1,∴x=-;⑵∵x<-1,由①式知≥1,∴y<0;
⑶∴= -