文档介绍：课题:48正弦函数、余弦函数的图象和性质(4)
教学目的:
1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义;
2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间;
3掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法
教学重点:正、余弦函数的性质
教学难点:正、余弦函数性质的理解与应用
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
=sinx,x∈R和y=cosx,x∈R的图象,分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
(描点法):
正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:
(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)
余弦函数y
x
o
1
-1
y=cosx xÎ[0,2p]的五个点关键是
(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)
:
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R[或(-∞,+∞)],
分别记作: y=sinx,x∈R y=cosx,x∈R
正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1]
其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,取得最大值1
②当且仅当x=-+2kπ,k∈Z时,取得最小值-1
而余弦函数y=cosx,x∈R
①当且仅当x=2kπ,k∈Z时,取得最大值1
②当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时,取得最小值-1
正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π
y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数
正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称
正弦函数在每一个闭区间[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1
余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1
二、讲解范例:
例1 求函数y=sinπ的单调增区间
误解:令u=π
∵y=sinu在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上递增
∴2kπ-≤π≤2kπ+
解得-4k≤x≤-4k+2
∴原函数的单调递增区间为[-4k,-4k+2](k∈Z)
分析:上述解答貌似正确,实则错误,错误的原因是,令u=π,忽视了u是x的减函数,未考虑复合后单调性的变化
正解如下:
解法一:令u=π,则u是x的减函数
又∵y=sinu在[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上为减函数,
∴原函数在[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上递增
设2kπ+≤π≤2kπ+
解得-4k-2≤x≤-4k(k∈Z)
∴原函数在[-4k-2,-4k](k∈Z)上单调递增
解法二:将原函数变形为y=-sinπ
因此只需求sinπ=y的减区间即可
∵u=π为增函数
∴只需求sinu的递减区间
∴2kπ+≤π≤2kπ+
解之得:4k+2≤x≤4k+4(k∈Z)
∴原函数的单调递增区间为[4k+2,4k+4](k∈Z)
一、