文档介绍：第九章组合变形
§9-1 概述
在实际工程中,杆件所承受的荷载常常是比较复杂的,杆件所发生的变形往往同时包含两种或两种以上的基本变形形式,这些变形形式所对应的应力或变形对杆件的强度或刚度产生同等重要的影响,而不能忽略其中的任何一种,象这类杆件的变形称为组合变形。例如,在有吊车的厂房中,带有牛腿的柱子受到屋架以及吊车梁传来的竖向荷载F1、F2(图9−1a),它们的作用线与上下柱的轴线都不重合,属于偏心受压,这可以看作是轴向压缩与纯弯曲的组合;斜屋架上的檩条(图9−1b),受到屋面板上传来的荷载F,该荷载的作用线并不与工字钢的任一形心主轴重合,所以引起的不是平面弯曲,将F沿两形心主轴分解成两个分量,这两个分量分别引起两方向的弯曲,这种情况称为斜弯曲或双向弯曲;雨蓬梁(图9−1c),一方面受到梁上墙传来的荷载,引起梁的弯曲,另一方面,受到雨蓬板传来的荷载,这部分荷载将引起梁的扭转变形,所以雨蓬梁可看作是弯曲与扭转的组合变形。
图9−1
e1
e2
F2
F1
(a)
F
z
y
(b)
F
q
(c)
§9-2 斜弯曲
现以矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲问题中应力和变形的计算。
My
Mz
z
图9−2
D2
D1
φ
m
m
z
Fy
x
l
O
F
Fz
y
x
K(y,z)
y
m
m
(a)
(b)
如图9−2a所示,悬臂梁在自由端受集中力F作用,其作用线通过横截面的形心,并与截面的铅垂对称轴间的夹角为φ。选取坐标系如图所示,梁轴线为x轴,两个对称轴分别为y轴和z轴。
现将F沿y轴和z轴分解为两个分力Fy和Fz,即:
(a)
将每一个分力以及与它相应的支反力看作为一组力,在每一组力作用下,梁将在相应的纵向对称平面内发生平面弯曲。这两个分力在梁的任意横截面m−m(图14−2b)上引起的弯矩分别为:
(b)
式中的弯矩M=F x是力F在横截面m−m上所引起的弯矩。由以上两式的最后结果可知,弯矩也可以由总弯矩M沿两坐标轴进行矢量分解来求得。
由于已把横截面m−m上的弯矩分解为两个分量,这两个分量分别引起梁的平面弯曲,则任意一点K(y,z)处的正应力可以按叠加原理求得。设杆件在xOy和xOz平面内发生平面弯曲时,K点处的正应力分别为σ'、σ",则:
(c)
取式(c)两式的代数和,即得在Fy和Fz共同作用下,K点的正应力为:
(9−1)
式中的Iz 、Iy分别为横截面对z轴和y轴的惯性矩,z、y分别为所求应力点到y轴和z轴的距离。
对于所研究的悬臂梁(图9−2),其危险截面在固定端,因为该处弯矩My和Mz的绝对值最大。至于危险截面上危险点的确定,对于工程中常用的矩形、工字形截面,其横截面都有两个对称轴且具有棱角,危险点容易确定。通过观察梁(图9−2)的变形情况可知,在D1点处,叠加后的正应力为最大拉应力,在D2点处,叠加后的正应力为最大压应力,它们的数值相等,可以写成下式:
(d)
若材料的许用拉应力与许用压应力相等,其强度条件可写成:
图 9−3
z
y
O
F
(9−2)
式中:
, (e)
对于不易确定危险点的截面,例如边界呈弧线且没有棱角的截面(图9−3),则需研究截面上正应力的变化规律。由式
(9−1)可知,正应力σ是点的坐标y、z这两个变量的线性函数,它的分布规律是一个平面。在该平面与横截面相交的直线上,各点处的正应力为零,所以该直线即为中性轴,则离中性轴最远的点,正应力为最大。因此为了计算横截面上的最大正应力,首先要定出中性轴的位置。
设中性轴上任一点的坐标为(y0,z0),由于中性轴上各点处的正应力都等于零,则由式(9−1)可得:
由于M不等于零,得:
(9−3)
上式即为中性轴方程,它是一条通过横截面形心的直线,设它与z轴间的夹角为α,则:
(9−4)
D2
D1
α
中性轴
图 9−4
φ
z
y
O
由式(9−4)可知,当F通过第Ⅰ、Ⅲ象限时,中性轴通过第Ⅱ、Ⅳ象限。一般情况下,Iy≠Iz,所以中性轴与F作用线并不垂直,这是斜弯曲的特点。当Iy=Iz时,即截面的两个形心主惯性矩相等,如圆形、正方形以及一般正多边形截面梁,中性轴与F作用线垂直,此时,无论F力的φ角等于多少,梁所发生的弯曲总是平面弯曲,而不会发生斜弯曲。
中性轴把截面划分为受拉和受压区域。确定了中性轴的位置后,就很容易确定正应力最大的点。在横截面的周边上,作两条与中性轴平行的切线(图9−4),则两切点D1、D2就是横截面上离中性轴最远的点,也就是正应力最大的点。将这两点的y、z坐标代入式(9−1),就可分别得到横截面上的最大拉应力、最大压应力。求出该应力值后,就可以根据