文档介绍：第11讲点线面之间的基本关系
1. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下:
公理1
公理2
公理3
图形语言
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
2. 空间两条直线的位置关系:
3. 已知两条异面直线,经过空间任一点作直线,把所成的锐角(或直角)叫异面直线所成的角(或夹角). 所成的角的大小与点的选择无关,为了简便,点通常取在异面直线的一条上;异面直线所成的角的范围为,如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直,记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:选点→平移→定角→计算.
4. 直线与平面的位置关系:(1)直线在平面内(有无数个公共点);(2)直线与平面相交(有且只有一个公共点);(3)直线与平面平行(没有公共点). 分别记作:;;.
5. 两平面的位置关系:平行(没有公共点);相交(有一条公共直线).分别记作;.
空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,已知EF和GH交于P点,求证:EF、GH、AC三线共点.
【例2】.正方体中,E、F、G、H、K、L分别是的中点. 求证:这六点共面.
【例3】(1)在平面α外,,,,求证:P,Q,R三点共线.
(2)已知四边形ABCD中,AB∥CD,四条边AB,BC,DC,AD(或其延长线)分别与平面α相交于E,F,G,H四点,求证:四点E,F,G,H共线.
【例4】在一封闭的正方体容器内装满水,M,N分别是AA1与C1D1的中点,由于某种原因,在D,M,N三点处各有一个小洞,为使此容器内存水最多,问应将此容器如何放置?此时水的上表面的形状怎样?
【例5】已知异面直线a和b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有( ).
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【例6】如图正方体中,E、F分别为D1C1和B1C1的中点,P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点. (1)求证:D、B、F、E四点共面;(2)若A1C与面DBFE交于点R,求证:P、Q、R三点共线.
【例7】如图中,正方体ABCD—A1B1C1D1,E、F分别是AD、AA1的中点.
(1)1所成的角的大小;
(2)求直线AB1和EF所成的角的大小.
【例8】已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等,求AB和CD所成的角的大小.
【例9】设异面直线a与b所成角为50°,O为空间一定点,试讨论,过点O与a、b所成的角都是θ的直线l有且仅有几条?
【例10】在空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是CB、CD的中点,若AC + BD = a ,ACBD =b,求.
A
B
C
D
E
F
G
H
【例11】已知空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是BC、CD上的点,且.
求证:(1)E、F、G、H四点共面;(2)三条直线EF、GH、AC交于一点.
【例12】如下图,设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点的连线AA