文档介绍：抽象函数性质综述
抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识.
函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合,综合函数的其它性质一起考查.
,函数的周期性只涉及到一个函数.
函数的对称性比较复杂,要分清是一个函数的对称性,还是两个函数的对称性;分清是轴对称还是中心对称.
一、基本定义
1、定义1:(周期函数)对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域的每一个值时,都有,那么,.
2、定义2:(同一函数图象的对称性)若函数图象上任一点关于点(或直线)的对称点仍在函数的图象上,则称函数的图象关于点(或直线)对称.
3、定义3:(两个函数图象的对称性)若函数图象上任一点关于点(或直线)的对称点在函数的图象上;反过来,函数图象上任一点关于点(或直线)的对称点也在函数的图象上,则称函数与的图象关于点(或直线)对称.
二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明
1、若函数的定义域为,且恒成立,则函数是以为周期的周期函数;
2、若函数的定义域为,且恒成立,则函数的图象关于直线对称;
3、若函数的定义域为,且恒成立,则函数的图象关于点对称;
4、若函数的定义域为,且恒成立,则函数是以为周期的周期函数;
5、若函数的定义域为,则函数与的图象关于直线对称;
6、若函数的定义域为,则函数与的图象关于点对称.
略证:1、,函数是以为周期的周期函数.
2、函数图象上的任一点(满足)关于直线的对称点为,
点仍在函数的图象上,从而函数的图象关于直线对称.
3、函数图象上的任一点(满足)关于点的对称点为,
点仍在函数的图象上,从而函数的图象关于点对称.
4、
,函数是以为周期的周期函数.
5、函数图象上的任一点(满足)关于直线的对称点为,
点在函数的图象上;.
6、函数图象上的任一点(满足)关于点的对称点为,
点在函数的图象上;.
三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论
1、若函数满足,则函数的图象关于轴对称;函数和函数的图象也关于轴对称.
2、若函数满足,则函数的图象关于原点对称;函数和函数的图象也关于原点对称.
3、若函数满足,则函数的图象关于轴对称;而函数和函数的图象关于直线对称.
4、若函数满足,.
5、若函数满足,则函数的图象关于直线对称;而函数和函数的图象关于轴对称.
6、若函数满足,则函数的图象关于点对称;而函数和函数的图象关于原点对称.
7、若函数满足,则函数的图象关于直线对称;函数和函数的图象也关于直线对称.
8、若函数满足,则函数的图象关于点对称;函数和函数的图象也关于点对称.
9、若函数满足,则函数是以为周期的周期函数;若函数满足,则函数是以为周期的周期函数.
四、函数周期性与对称性的关系
1、定义在上的函数,若同时关于直线和对称,即对于任意的实数,函数同时满足,,