文档介绍：2012年四川理工学院第九届大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写): D
我们的参赛报名号为(如果设置报名号的话): 40
所属学校(请填写完整的全名): 四川理工学院
参赛队员(打印并签名) :1. 余林工程管理三班
2. 赵鸿平网络一班
3. 王梦工分一班
日期: 2012 年 05 月 20 日
评阅编号(由评委团评阅前进行编号):
2012年四川理工学院第九届大学生数学建模竞赛
编号专用页
评阅编号(由评委团评阅前进行编号):
评阅记录表
评
阅
人
评
分
备
注
屋檐水槽的问题
摘要
对于房管在解决倾斜屋顶采用何种结构进行有组织排水, 是民用建筑一个普通而实际的问题。
在民用建筑中一般是在房顶的边缘安装一个檐槽和一个竖立的排水管来排水, 这种排水方式的可行性探讨实际上是解决水槽的容量在单位时间内能否足以排出雨水的问题。
为了论证该管道公司生产的管道的实用性,我们通过讨论房屋倾角,水流速度及时间的关系构建了这种排水方式的随时间推移水面上涨的微分方程模型,借助和运用matlab软件绘图及计算对设计方案进行了可行性论证(其中运用matlab绘图对模型进行可视化分析),从而得出该公司生产的水槽符合条件,能够达到良好排水的作用。并提出了屋檐水槽模型的优化方案,使模型有进一步的改进。
关键词:速度平衡原理、微分方程、数值解、 matlab绘图。
一、问题的重述及简化
房屋管理部门想在房顶的边檐安装一个檐槽,其目的是为了雨天出入方便。从屋脊到屋檐的房顶可看成是一个12米长,6米宽的矩形平面,房顶与水平方向的倾斜角度一般在
c d
b
a b
现有一公司想承接这项业务,允诺:提供一种新型的檐槽,包括一个横截面为半圆形()的水槽和一个竖直的排水管(直径为10cm),不论天气情况如何,这种檐槽都能排掉房顶的雨水。房管部门犹豫,考虑公司的承诺能否实现。请你建立数学模型,论证这个方案的可行性。
现对模型进行简化:
水槽的容量能否足以排出雨水的问题,简化为水箱的流入流出问题。从房顶上流下的雨水量是流入量;顺垂直于房顶的排水管排出的是流出量。水槽能否在没有溢出的情况下将全部雨水排出,即就是要研究水槽中水的深度与时间的函数关系。
二、假设
(1)雨水垂直下落并且直接落在房顶上;
(2)落在房顶上的雨水全部迅速流入水槽中;
(3)落在房顶上的雨没有溅到外面去;
(4)在排水系统中不存在一些预料不到的障碍,象落在房顶上的杂物、树叶等;
(5);
假设(1)是合理的,雨水垂直打在房顶上符合下特大暴雨时的特点,且利于简化模型。
假设(2)(3)(4)也是合理的,利于模型建立且减小计算过程中的误差。
假设(5)也是合理的,由于水槽横截面为半圆形,槽中有一点积水是正常的。
有关因素
因素类型
符号
单位
降水速度
输入变量
时间
变量
t
s
房顶的倾斜角
输入变量
 
(20-50)度
房顶的长度
输入参数
a
m
房顶的宽度
输入参数
b
m
水槽的半径
输入参数
r
m
水槽中水的高度
输出变量
h
m
水槽中水的容量
变量
V
流入水槽的流速
变量
流入水管的流速
变量
排水管的直径
参数
d
m
重力加速度
参数
g
四、模型的建立
h
水
a
b
c
d
图(一).屋面水流示意图
图(二).水槽横截面示意图
水流
现建立模型示意图:
考察水槽能否及时排掉从屋顶流下的雨水,就是研究水槽中的水深与时间的函数关系。
根据速度平衡原理,对于房顶排水系统有:
水槽中的水的容量的变化率=雨水流入水槽的流速-流出水槽的流速,即
其中,分别为单位时间排水系统的流入水槽和流出水槽的雨水流量。
表示单位时间里落在水平面上雨水的深度,房顶的面积是ab,由于房顶是倾斜的,如图(一)所示,屋顶实际受雨的面积:
根据假设(1)