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,并由的图形判别驻是否为极值点。
解: ,
当x¹0时,y¢>0, 即原函数在0的邻域内是严格单调增的,因此驻点不是极值点。
。
证明: 设则f(x)在[-10,10]上满足
由零点在在定理,可知$x0Î(-10,10), s. t. f¢ (x0)=0.
假设f (x)=0有两个不同的实根x1,x2,( x1<x2), 即f (x1)=f (x2)=0,
在区间[x1, x2]上函数f (x)满足罗尔中值定理条件, 则
$xÎ(x1,x2), s. t. f ¢ (x)=0.
即
由于D=-1<0, 方程没有实数根,
因此相应的x不在在。从而可知原方程只有一个实根。
(x)在(a,b)内二阶可导,且f ²(x) ¹0在xÎ(a, b)。求证: f (x)在(a, b)内至多有一个驻点。
证明: 假设在(a, b)内至少有两个驻点, 不妨假设有两个驻点x1, x2,
则
显然在区间[x1, x2]上函数f ¢(x)满足罗尔中值定理条件, 则
$xÎ(x1,x2), s. t. f ²(x)=0.
与题设矛盾, 假设不成立,从而可知f (x)在(a, b)内至多有一个驻点。。
,在内可导,求证: 存在,使得
.
证明: 设则在区间[0,1]上满足拉格朗日定理条件, $xÎ(x1,x2), s. t.
即
从而,。
,在内是常数,证明: 在上的表达式为
其中A、B是常数。
证明: 设则在区间[a, x]上满足拉格朗日定理条件,
因此,$xÎ(a, x), s. t.
即
,在内可导,且
证明: 存在常数C,使得。
证明: 设则由题设知
因此在区间[a, b]上F(x)=C,
> -1,用拉格朗日定理证明不等式:
证明: (1) 当x³0时,(略)
(2) 当-1<x<0时,在区间[x,0]上对函数f (x)=ln(1+x)应用拉格朗日定理,有
即
由有从而
即。