文档介绍：控制系统状态空间表达式的解
在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后,本节将讨论线性多变量系统的运动分析,即线性状态方程的求解。对于线性定常系统,为保证状态方程解的存在性和唯一性,系统矩阵A和输入矩阵B中各元必须有界。一般来说,在实际工程中,这个条件是一定满足的。
第九章控制系统的状态空间分析
引言
运动分析的目的:是要提示系统状态的运动规律和基本特性。
运动分析分为:
定量分析:对系统的运动规律进行精确研究,即定量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。
定性分析:着重对决定系统行为和综合系统结构具有重
要意义的几个关键性质,如能控性、能观测性和稳定性等进行定性研究。
运动分析的数学实质:
就是从其数学模型出发,来定量地和精确地定出系统运动的变化规律,以便为系统的实际运动过程作出估计。
线性定常系统的运动可分为:
1、自由运动:线性定常系统在没有控制作用时,由初始
条件引起的运动称自由运动。
状态方程:
齐次方程
2、强迫运动:线性定常系统在控制作用下的运动,称为强
迫运动。
状态方程:
非齐次方程
x
线性定常齐次状态方程的解
线性定常齐次状态方程的解又称为自由解、零输入响应,或者是自由运动、自治运动。
状态方程:
若给定初始时刻时的状态向量值:
则任意时刻的状态即可确定:
此即齐次状态方程的解。
若初始时刻则其解为:
证明:与标量微分方程的求解类似,先假设齐次状态方程的解X(t)为t的向量幂级数形式,即:
假设
则:
代入齐次状态方程得:
两边比较系数,有:
其中,
把代入
得:
上式括号内是一个n×n矩阵,它是一个矩阵指数函数,记为,即:
于是,齐次状态方程的解可表示为:
矩阵指数函数-状态转移矩阵
一、状态转移矩阵
齐次矩阵微分方程的自由解实际上反映了从初始状态到任意时刻的状态向量的一种变换关系,变换矩阵就是矩阵指数函数,它不是常量矩阵,而是时间的函数,这意味着随着时间的推移,状态向量将在状态空间中移动,所以也称为状态转移矩阵。通常记为, 表示X(0)到X(t)的转移矩阵。
这样,线性系统的自由解又可表示为
因此,利用状态转移矩阵,可以从任意初始时刻的状态向量,求得任意时刻t的状态向量。
状态转移矩阵的几何意义
由图中3个式子也
可以得到如下关系式
或者:
二、状态转移矩阵的性质
1、组合性(分解性)
2、
3、可逆性
4、导数
5、对于n×n方阵,当且仅当AB=BA时,有
三、几个特殊的矩阵指数函数
1、若A为对角阵