文档介绍：等差与等比数列知识与方法总结
一、知识结构与要点
定义
通项—等差中项 a、b、c成等差
基本概念推广
前n项和
等差数列
当d>0(<0) 时{为递增(减)数列
当d=0时为常数
基本性质与首末两端等距离的项之和均相等
中共成等差则也成等差
定义:
通项等比中项:a b c成等比数列
基本概念
推广
前n项和
等比数列
与首末两端等距离的两项之积相等
成等比,若成等差则
成等比
基本性质当或时{为递增数列
当或时{为递减数列
当 q<0时{为摆动数列
当 q=1时{为常数数列
二、等差数列、等比数列基础知识与方法概括
(一).一般数列
数列的定义及表示方法;数列的项与项数;有穷数列与无穷数列;递增(减)、摆动、循环数列;数列{an}的通项公式an;数列的前n项和公式Sn;
一般数列的通项an与前n项和Sn的关系:
(二)等差数列
[定义]如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
即:
(1)定义法:对于数列,若(常数),则数列是等差数列。
(2)等差中项法:对于数列,若,则数列是等差数列。
如果等差数列的首项是,公差是,则等差数列的通项为。
[说明]:该公式整理后是关于n的一次函数。
(1). ( 2.)
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项。即:或
[说明]:在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
(1).等差数列任意两项间的关系:如果是等差数列的第项,是等差数列的第项,且,公差为,则有
(2).对于等差数列,若,则。
也就是:,如图所示:
(3).若数列是等差数列,是其前n项的和,,那么,,成等差数列。如下图所示:
(4).设数列是等差数列,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前n项的和,则有如下性质:①奇数项
②偶数项
③
所以有
;
所以有
(5).若等差数列的前项的和为,等差数列的前项的和为,则。
(三).等比数列
[定义]:
[等比中项]
如果在与之间插入一个数,使,,成等比数列,那么叫做与的等比中项。也就是,如果是的等比中项,那么,即。
(1)定义法:对于数列,若,则数列是等比数列。
(2)等比中项:对于数列,若,则数列是等比数列。
如果等比数列的首项是,公比是,则等比数列的通项为。
(1)等比数列任意两项间的关系:如果是等比数列的第项,是等差数列的第项,且,公比为,则有
(2).对于等比数列,若,则
也就是:。如图所示:
(3)若数列是等比数列,是其前n项的和,,那么,,成等比数列。如下图所示:
三、数列的通项求法
,等比数列的通项;
2.
,迭乘累乘
,
,
,
………, ………,
,
,
注:
4. 数列间的关系
(1)
(2)
(3)递推数列]
①能根据递推公式写出数列的前n项
②由解题思路:利用
变化(ⅰ)已知(ⅱ)已知
③若一阶线性递归数列an=kan-1+b(k≠0,k≠1),则总可以将其改写变形成如下形式:(n≥2),于是可依据等比数列的定义求出其通项公式;
四、数列的求和方法(详细讲解见六)
: 如:an=1/n(n+1)
:,
所以有
如:an=(2n-1)2n
:如已知函数求:。
:如:an=2n+3n
五、其它方面
1、在等差数列中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解:  
(1)当,d<0时,满足的项数m使得取最大值.
(2)当,d>0时,满足的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
2、三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d
3、三个数成等比的设法:a/q,a,aq;
四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)
4、求数列{an}的最大