文档介绍：试卷编号
命题人: 吴明芬审批人: 试卷分类(A卷或B卷) A
五邑大学试卷
学期: 2009 至 2010 学年度第一学期
课程:矩阵分析专业: 2009级电子、模式、交通、机械研究生
班级: 姓名: 学号:
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分
得分
一、
在中,定义,则是否是上的线性变换?如果是求出在某一基下的矩阵,并求的核与值域。(16分)
解:1),则有
,所以是上的线性变换。
2)取的一组基,则
,所以
,故在该基下的矩阵为A,
。
3)的值域为向量生成的子空间。
4)的核==,线性方程组的基础解系为
故的核是。
得分
二、(12分)
设是欧氏空间V中一单位向量,定义,证明是正交变换。
解:,有
;
;
得分
三、
证明对任意的矩阵,若定义,则|| ||是一种矩阵范数,但不是算子范数(从属于向量范数的矩阵范数)。(12分)
证明:由定义显然知
(1);
(2)
(3)设则
(4)设则
所以||。||是矩阵范数
下面说明它不是算子范数。如果它是算子范数,则存在某个向量范数,使得
,但是对单位矩阵而言,左边||E||=n,右边=1,矛盾。
得分
四、(10分)
设是齐次线性方程组的解空间,是的解空间。则作为欧氏空间(内积为通常内积)的子空间是正交的,且
证明: 的一组基为
。
的一组基为。
由于个向量是两两正交的非零向量组,故他们线性无关。
所以, 且,所以。
得分
五、
求矩阵的Jordan标准形。(10分)
解:
得分
六、
利用系数矩阵的LU分解求解下面方程组,写出矩阵L,U。(10分)
解:,那么
,
原方程组与方程组同解,解之得
得分
七、
设是一个n维欧氏空间,是中的一个固定向量,
证明是的一个子空间;
证明的维数等于n—1。(10分)
证明:(1),则有,所以是的子空间。
(2)设将扩展为V的一组标准正交基,记为
,则。另一方面则
且。所以,从而,所以
,则,于