必修四2.4.1平面向量的数量积及运算律.ppt

文档介绍：平面向量的数量积
引入:我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)
θ
F
S
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发,我们引入向量数量积的概念。
两个非零向量a 和b ,作, ,则叫做向量a 和b 的夹角.
O
A
B
a
b
O
A
B
b
a
若,a 与b 同向
O
A
B
b
a
若 a 与b 反向
O
A
B
a
b
若,a 与b 垂直,
记作

练习1、如图,等边三角形中,求
(1)AB与AC的夹角;
(2)AB与BC的夹角。
A
B
C
通过平移
变成共起点!

规定:零向量与任意向量的数量积为0,
即 0.
已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为,我们把数量叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a · b ,即
注意:
(1)两向量的数量积是一个数量,而不是向量,符号由夹角决定
(2)a · b不能写成a×b
(3)向量的数量积与实数积的区别:
2)对于实数a、b、c(b≠0),若a · b=b · c,
则a=c , 对于向量a,b,c , 此式是否仍成立呢?
1) 对实数a≠0,若a · b=0,则b=0,但对向量a≠0时,若a · b=0 , 能不能推出b是零向量?
3)对于实数a、b、c,有(a · b) · c=a · (b · c)
但对于向量a,b,c来说,此式是否一定成立?
解:a·b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120°
=5×4×(-1/2)= -10。
1)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,求a·b。
2) 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。
解: |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °= 2
例1:
物理上力所做的功实际上是将力正交分解,只有在位移方向上的力做功.
θ
s
F
过点B作
垂直于直线OA,垂足为,
则
| b | cosθ
O
A
B
a
b
O
A
B
a
b
| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影.
θ为锐角时,
| b | cosθ>0
θ为钝角时,
| b | cosθ<0
θ为直角时,
| b | cosθ=0
B
O
A
a
b
我们得到a·b的几何意义:
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
例2、已知
与的夹角为60°,
求:(1) 在方向上的投影;

(2) 在方向上的投影;
=2
=3