文档介绍：【知识讲解与典型例题】
1、线段的垂直平分线
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(或中垂线)。
1)如何作出已知线段AB的中垂线呢?如图,分别以A、B为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于C、D,过C、D两点的直线CD就是线段AB的垂直平分线。
2)线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等。
该定理的逆命题是:到一条线段的两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
例1、如图,已知直线MN及直线外两点AB,在直线MN上求一点P,使PA=PB。
分析:连结AB,到A、B距离相等的点在线段AB的中垂线上,同时又要求在直线MN上。所以该点为AB中垂线与直线MN的交点。作图过程请自己完成。
 
2、轴对称和轴对称图形
把一个图形沿着某一条直线折过去,如果它能够与另一个图形重合,那么我们说这两个图形关于这条直线对称。
两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点,这条直线叫做对称轴。所以两个图形关于一直线对称也称两个图形成轴对称。
例2、如图,∠ABM=15°,AB的垂直平分线DC交BM于C,AE⊥BM于E,BC=6cm,则AE=                  。
分析:由DC垂直平分AB想到连结AC,则AC=BC=6cm,且∠B=∠CAB=15°,所以∠ACE=30°,则在Rt△ACE中,。
 
3、等腰三角形的性质
等腰三角形是一种特殊的三角形,它除了具有“两腰相等”这个特性以外,还具有其它特殊性质。
①它的两个底角重合;②中间的折痕与底边垂直;③折痕平分顶角;④折痕平分底边。
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
推论1、等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。
推论2、等边三角形的各角都相等,并且每个角都等于60°。
现将等腰三角形的性质定理及推论用符号语言表示如下:
 
4、等腰三角形性质的运用:
例3、(1)若等腰三角形中一个角的度数是50°,则其余两角的度数是      。
(2)若等腰三角形中一个角的度数是100°,则其余两角的度数是      。
(3)等腰三角形两个底角与顶角的外角的和等于260°,那么这个三角形的顶角为         ,底角为            。
(4)等腰三角形顶角与底角之比为1:4,则三个角的度数各是         。
解:(1)若50°角为顶角,则两个底角为
若50°角为底角,则另一底角为50°,顶角为180°-2×50°=80°
    (2)∵等腰三角形的底角不能为钝角
∴100°只能是顶角,  ∴两个底角为。
分析:(3)如图,等腰三角形ABC的顶角的外角∠DAC的度数即为两底角度数之和,所以∠B+∠C+∠DAC=260°
 
例4、已知:在△ABC中,D是AC上一点且AD=BD=BC,∠ABD=2∠DBC,求∠A,∠C。
分析:AD=BD,得∠A=∠ABD;由BD=BC,得∠BDC=∠C,而∠BDC=∠A+∠ABD,又∠A+∠C+∠ABC=180°,分析好了以后就不难解题了。
 
例5、已知:在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,且AD=AE,求证:BD=CE
分析:该题证明方法很多,可以用以前学过的全等三角形解题,也可应用等腰三角形性质解题