文档介绍：学案1 平面向量的基本概念
及线性运算
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(1)向量:既有,又有的量叫做向量,向量的大小叫做向量的(或模).
(2)零向量: 的向量叫做零向量,其方向是的.
(3)单位向量:给定一个非零向量a,与a 且长度等于的向量,叫做向量a的单位向量.
大小
方向
长度
长度为0
任意
同方向
1
考点分析
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(4)平行向量:,任一组平行向量都可以移到同一条直线上.
规定:0与任一向量.
(5)相等向量:长度且方向的向量.
(6)相反向量:长度且方向的向量.
(1)加法
①法则:服从三角形法则、平行四边形法则.
②运算性质:
相同
相反
非零
共线向量
平行
相等
相同
相等
相反
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a+b= (交换律);
(a+b)+c= (结合律);
a+0= = .
(2)减法
①减法与加法互为逆运算;
②法则:服从三角形法则.
(1)长度与方向规定如下:
①|λa|= ;
b+a
a+(b+c)
0+a
a
|λ|·|a|
②当时,λa与a的方向相同;当时,
λa与a的方向相反;当λ=0时,λa= .
(2)运算律:设λ,μ∈R,则
①λ(μa)= ;②(λ+μ)a= ;
③λ(a+b)= .
向量a与b(b≠0)平行的充要条件是
.
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有且只有一个实
λ>0
λ<0
0
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
数λ, 使得a=λb
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判断下列各命题是否正确.
(1)若|a|=|b|,则a=b;
(2)若A,B,C,D是不共线的四点,则AB=DC是
四边形ABCD是平行四边形的充要条件;
(3)若a=b,b=c,则a=c;
(4)两向量a,b相等的充要条件是:|a|=|b|且a∥b;
考点一向量的有关概念
题型分析
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【分析】从向量的模、相等向量的概念入手,逐个判断其真假.
(5)|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件;
(6)AB=CD的充要条件是A与C重合,B与D重合.
【解析】(1),但它们的方向不一定相同.
(2)正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且AB∥DC.
又A,B,C,D是不共线的四点,
∴四边形ABCD是平行四边形,反之,若四边形 AB CD是平行四边形,则AB∥DC,且AB与DC方向相同,因此,AB=DC.
(3)正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同;
又∵b=c,
∴b,c的长度相等且方向相同.
∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
(4)∥b,但方向相反,即使|a|=|b|,也不能得到a=b.
(5)|a|=|b|/ a=b,但a=b|a|=|b|,所以|a|=|b|是a=b的必要不充分条件.
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【评析】向量中的概念比较多,易混淆,基础性题目的判定应从概念的本质上加以理解和应用.
(6)=CD时,应有:|AB|=|CD|,即由A到B与由C到D的方向相同,但不一定要有A与C重合,B与D重合.
*对应演练*
给出下列命题:
①向量AB的长度与向量BA的长度相等;
②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
③两个有共同起点并且相等的向量,其终点必相同;
④两个有共同终点的向量,一定是共线向量;
⑤向量AB与向量CD是共线向量,则点A,B,C,D必在同一条直线上;
⑥有向线段就是向量,( )
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