文档介绍：学案2 平面向量的基本定理及坐标表示
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(1)定义
已知两个向量a
和b,作 OA=a,OB=b, 则
∠AOB=θ叫做向量a与b
的夹角(如图).
非零
考点分析
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(2)范围
向量夹角θ的范围是,a与b同向时,夹角θ= ;a与b反向时,夹角θ= .
(3)向量垂直
如果向量a与b的夹角是,则a与b垂直,记作.
(1)平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于平
0°≤θ≤180°
0°
180°
90°
a⊥b
不平行
面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a =
.
其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.
(2)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.
(3)平面向量的坐标表示
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λ1e1+λ2e2
基底
互相垂直
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①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,,有且只有一对实数 x,y,使得 a=xi+yj . 把有序数对
叫做向量a的坐标,记作a= ,其中叫做a在x 轴上的坐标, 叫做a在y轴上的坐标.
②设OA=xi+yj,则就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为,反之亦成立(O是坐标原点).
(1) 加法、减法、数乘运算
(x,y)
(x,y)
(x,y)
向量OA的坐标(x,y)
x
y
(2)向量坐标的求法
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量的坐标减去的坐标.
(3)平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线
a= .
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x1y2-x2y1=0
终点
始点
λb
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如右图,在△ABC中,点M是边BC的中点,点N在边AC上,且AN=,求AP:PM的值.
【分析】本题可先利用平面向量基本定理设出,然后利用共线向量的条件列出方程组,从而确定参数的值.
考点一平面向量基本定理的应用
题型分析
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【解析】设BM==e2,
则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN==2e1+e2.
∵A,P,M和B,P,N分别共线,
∴存在实数λ,μ使AP=λAM=-λe1-3λe2,
BP=μBN=2μe1+μe2, 故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 而BA=BC+CA=2e1+3e2,
λ+2μ=2 λ=
3λ+μ=3, μ= . 故AP= AM,即AP:PM=4:1.
由基本定理,得
解得
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【评析】(1)充分挖掘题目中的有利条件,.
(2)应注意平面几何中,平行线截线段成比例在此类问题中的应用.
(3),熟练掌握.
*对应演练*
设OA,OB不共线,P点在AB上,求证:OP=λOA+μOB且λ+μ=1(λ,μ∈R).
证明:∵P点在AB上,∴AP与AB共线.
∴AP=tAB(t∈R).
∴OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB.
令λ=1-t,μ=t,则有OP=λOA+μOB,λ+μ=1
(λ,μ∈R).
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