文档介绍：指数函数、幂函数
对数函数增长的比较
第一课时
一粒米的故事
从前,有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的游戏,于是他决定奖赏国际象棋的发明者,满足他的一个心愿.
“陛下,我深感荣幸,我的愿望是你赏我一粒米.”发明者说. “只是一粒米?”国王回答说. “是的,只要在棋盘的第一格放上一粒米,在第二格放上两粒米,在第三个加倍放上四粒米…以此类推,每一格均是前一格的两倍,直到放慢棋盘为止,这就是我的愿望.”国王很高兴. “如此廉价便可以换的如此好的游戏,我的祖辈们一定是恩泽于我了."国王想. 于是国王大声地说“好!把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议”……
思考:国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗?
当a>1时,指数函数y=ax是增函数,并且对于x>0,当a越大时,其函数值的增长就越快。
指数函数
当a>1时,对数函数y=logax是增函数,并且对
于x>1,当a越小时,其函数值的增长就越快。
对数函数
当x>0,n>1时,幂函数y=xn是增函数,并且对于x>1,当n越大时,其函数值的增长就越快。
y
x
-3 -2 -1 O 1 2 3
6
5
4
3
2
1
y=x2
y=x4
幂函数
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢
y=log2x
y=x2
y=2x
y
x
O
16
4
2
4
思考?
对于上述三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢?
对数函数 y=log2x增长最慢
幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行
在(0,2),幂函数比指数函数增长快
在(4,+∞),指数函数比幂函数增长快
自变量x
函数值
y=2x
y=x100(x>0)
y=log2x
···
···
···
···
1
2
1
0
004 4
733 8
725 8
071 0
10
1 024
10100
928 1
100
×1030
10200
856 2
300
×1090
×10247
818 7
500
×10150
×10269
784 3
700
×10210
×10284
211 1
900
×10270
×10295
781 2
996
×10299
×10299
1 000
×10301
10300
784 3
1 100
×10331
×10304
1 200
×10361
×10307
···
···
···
···
借助计算器完成右表
对函数y=2x,y=x100(x>0),y=log2x的函数值(取近似值)比较
x 的变
化区间
函数值的变化量
y=2x
y=x100(x>0)
y=log2x
(1,10)
1023
10100-1
928 1
(10,100)
×1030
10200
928 1
(100,300)
×1090
×10247
962 5
(300,500)
×10150
×10269
965 6
(500,700)
×10210
×10284
426 8
(700,900)
×10270
×10295
570 1
(900,1000)
×10301
10300
003 1
(1000,1100)
×10331
×10304
503 5
(1100,1200)
×10361
×10307
530 9
利用上表完成右表
对函数y=2x,y=x100(x>0),y=log2x的函数值(取近似值)比较
1、随着x的值越大,y=log2x的函数值增长的越来越慢,y=2x和y=x100的函数值增长的越来越快y=log2x增长比y=2x和y=x100要慢的多。
2、对函数y=2x和y=x100而言
在x比较小时,会存在y=x100比y=2x的增长快
的情况。
当x比较大时,y=2x比y=x100增长得更快。
在区间(0,+∞)上,当a>1,n>0时,当x足够大时,