文档介绍：考研数学知识点-线性代数
第一讲基本知识
反对称矩阵 AT = −A。
① A + B = B + A ,阶梯形矩阵
②()A + B + C = A + ()B + C
⎧初等行变换
初等变换分⎨
③ c()A + B = cA + cB ()c + d A = cA + dA ⎩初等列变换
三类初等行变换
④ c()()dA = cd A
①交换两行的上下位置
⑤ cA = 0 ⇔ c = 0 或 A = 0 。 A → B
向量组的线性组合②用非零常数 c 乘某一行。
③把一行的倍数加到另一行上(倍加变换)
α,α,Λ,α,
1 2 s 阶梯形矩阵
c α+Λc α+ + c α。⎛4 1 0 2 0⎞
1 1 2 2 s s ⎜⎟1 0
⎜0 −1 2 5 1⎟
转置 2 1
⎜0 0 0 2 3⎟
⎜⎟
T ⎜⎟ 4 3
A 的转置 A (或 A′) ⎝0 0 0 0 0⎠
T ①如果有零行,则都在下面。
AT = A
() ②各非零行的第一个非 0 元素的列号自上而下严格
单调上升。
()A ± B T = AT ± BT
或各行左边连续出现的 0 的个数自上而下严格单调
T 上升,直到全为 0 。
()cA = c()AT 。
台角:各非零行第一个非 0 元素所在位置。
简单阶梯形矩阵:
3. n 阶矩阵
1
n 行、 n 列的矩阵。
0。
对角线,其上元素的行标、列标相等 a ,a ,Λ
11 22
⎛* 0 0⎞每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单
⎜⎟阶梯形矩阵。
对角矩阵⎜0 * 0⎟
如果 A 是一个 n 阶矩阵
⎜0 0 *⎟
⎝⎠ A 是阶梯形矩阵⇒ A 是上三角矩阵,反之不一定,
⎛3 0 0⎞如
⎜⎟
数量矩阵 0 3 0 = 3E ⎛0 0 1⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟是上三角,但非阶梯形
⎝0 0 3⎠⎜0 1 0⎟
⎜⎟
⎝0 0 1⎠
⎛1 0 0⎞
⎜⎟
单位矩阵⎜0 1 0⎟E或I
⎜0 0 1⎟
⎝⎠用同解变换化简方程再求解
⎛* * *⎞三种同解变换:
⎜⎟①交换两个方程的上下位置。
上(下)三角矩阵⎜0 * *⎟
②用一个非 0 数 c 乘某一个方程。
⎜0 0 *⎟
⎝⎠③把某一方程的倍数加到另一个方程上去,它在反映
在增广矩阵上就是三种初等行变换。
对称矩阵 AT = A 。
1 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月
考研数学知识点-线性代数
a11 a12 Λ a1n
矩阵消元法:
a a Λ a
21 22 2n
①写出增广矩阵()A β,用初等行变换化()A β为阶梯ΛΛΛΛ
an1 an2 Λ ann
形矩阵()Bγ。
A是 n 阶矩阵, A 表示相应的行列式。
②用()Bγ判别解的情况。
(完全展开式)
i)如果()Bγ最下面的非零行为()0,Λ,0 d ,则无解,
否则有解。
a b
= ad − bc
ii)如果有解,记γ是()Bγ的非零行数,则 c d
γ= n 时唯一解。
γ< n 时无穷多解。
iii)唯一解求解的方法(初等变换法)
去掉()Bγ的零行,得()B0 γ 0 ,它是 n × ()n + c 矩阵,
B 是 n 阶梯形矩阵,从而是上三角矩阵。
0
⎛b * * * * ⎞ a a Λ a
⎜ 11 ⎟ 11 12 1n
⎜ 0 b22 * * * ⎟ a a Λ a
一个 n 阶行列式 21 22 2n 的值:
B = ⎜ 0 0 Ο* * ⎟
0 ⎜⎟ΛΛΛΛ
⎜ 0 0 0 bn−1n−1 * ⎟ an1 an2 Λ ann
⎜⎟
⎝ 0 0 0 0 bn n ⎠①是 n!项的代数和
②每一项是 n 个元素的乘积,它们共有 n!项
则 bn n ≠ 0 ⇒ bn−1 n−1 ≠ 0 ⇒Λ bii 都不为 0 。
a a Λ a
1 j1 2 j2 njn
于是把()B0 γ 0 化出的简单阶梯形矩阵应为
其中 j1 j2 Λ jn 是1,2,Λ,n 的一个全排列。
⎛1 0 0 0 c ⎞
⎜ 1 ⎟
⎜0 1