高等数学 微分中值定理与导数的应用教案.doc

文档介绍：第三章微分中值定理与导数的应用
§ 微分中值定理
: 设函数在点的某邻域内有定义,并且在处可导,如果对任意的,有
(或),
那么.
(或稳定点,临界点)
: 如果函数满足
①在闭区间上连续;
②在开区间内可导;
③在区间端点处的函数值相等,即,
那么在内至少存在一点,使得
.

在上是否满足罗尔中值定理的条件,若满足试求.
解: 由于是初等函数,所以在上是连续的,在
内是可导的,而,故在上满足罗尔中值定理的条件,从而在内至少存在一点,使得
,
即,
解得.
,在内可导,且,证明至少存在一点,使得
.
证: 令,则在上连续,在内可导,而,所以在上满足罗尔中值定理的条件,故在内至少存在一点,使得
,
即.
,证明方程在内至少有一个实根.
解: 令,则在上连续,在内可导,而,所以在上满足罗尔中值定理的条件,故在内至少存在一点,使得
,
即,
从而是方程在内的一个实根.
: 如果函数满足
①在闭区间上连续;
②在开区间内可导,
那么在内至少存在一点,使得
.
4'.如果函数在上满足拉格朗日中值定理的条件,那么
,
或,
其中.
:
其中.
证: 令,则在上满足拉格朗日中值定理的条件,故在内至少存在一点,使得
,
.
由于
,
所以
:
.
证: 令,则在上满足拉格朗日中值定理的条件,故在
内至少存在一点,使得
由于
,
所以
.
:
.
证:令,则在上满足拉格朗日中值定理的条件,故在
内至少存在一点,使得
由于
,
所以
.
,在内具有二阶导数,且, ,证明在内至少存在一点,使得.
证: 由于在上满足拉格朗日中值定理的条件,所以在内至少存在一点,使得
.
由于,所以.
由于在上满足拉格朗日中值定理的条件,所以在内至少存在一点,使得
.
由于,所以.
由于在上满足拉格朗日中值定理的条
件,所以在内至少存在一点,使得
.
由于,所以,故.
,那么在区间上是一个常数.
: 如果函数及满足
①在闭区间上连续;
②在开区间内可导;
③对任一,,
那么在内至少存在一点,使得
.
,在内可微,且,证明在内至少存在一点,使得
.
证: 令. 由于,在上满足柯西中值定理的条件,所以在内至少存在一点,使得
,
,
.
,在内可微,其中,证明在内至少存在一点,使得
.
证: 令. 由于,在上满足柯西中值定理的条件,所以在内至少存在一点,使得
.