文档介绍：1
第6章解线性方程组的迭代法
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迭代法的基本概念
Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法
超松弛迭代法
共轭梯度法
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迭代法的基本概念
考虑线性方程组
()
其中为非奇异矩阵,当为低阶稠密矩阵时,第5章所讨
论的选主元消去法是有效方法.
但对于的阶数很大,零元素较多的大型稀疏矩阵
方程组,例如求某些偏微分方程数值解所产生的线性方程
组来说,利用迭代法求解则更为合适.
迭代法通常都可利用中有大量零元素的特点.
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例1
()
记为,
方程组的精确解是.
求解方程组
其中
现将()改写为
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()
或写为,
其中
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将这些值代入() 式右边(若()式为等式即求得方程组的解,但一般不满足).
任取初始值,例如取.
再将分量代入()式右边得到,反复利用这个计
算程序,得到一向量序列和一般的计算公式(迭代公式)
得到新的值
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()
简写为
其中表示迭代次数
迭代到第10次有
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从此例看出,由迭代法产生的向量序列逐步逼近
方程组的精确解.
对于任何由变形得到的等价方程组,
迭代法产生的向量序列不一定都能逐步逼近方程组
的解.
如对方程组
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构造迭代法
则对任何的初始向量,得到的序列都不收敛.
对于给定方程组,
设有唯一解,
()
又设为任取的初始向量,
()
其中表迭代次数.
则
按下述公式构造向量序列
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定义1
(1) 对于给定的方程组,
逐步代入求近似解的方法称为迭代法(或称为一阶定常迭代
法,这里与无关).
(2) 如果存在(记为),
显然就是方程组的解,否则称此迭代法发散.
用公式()
称此迭代法收敛,
研究的收敛性.
引进误差向量
由()减去()式,
得,