文档介绍：迭代法的一般理论
不动点迭代法
不动点迭代的收敛性
迭代序列的收敛速度
序列收敛加速方法
一种圆周率计算方案:
初值: x0=1
( n=1,2,3,······ )
迭代格式:
将一个计算过程反复进行称为迭代,迭代法是一类常见常用的计算技术。
不动点迭代法
x2 x1 x0
y = x
f(x) = 0
迭代格式:
( n = 0, 1, 2, ······ )
迭代函数
若存在 x*,使得,则称x*为不动点


方程 x3 + 4x2 – 10 = 0 在[1, 2] 上有一个根, 将方程变换成另一形式:
(1)
( n = 0, 1, 2, ······)
( n = 0, 1, 2, ······)
(2)
fi=inline('*sqrt(10-x^3)');
x0=;er=1;k=0;
while er>
x=fi(x0);
er=abs(x-x0);
x0=x;k=k+1;
end
fi=inline('sqrt(10/(4+x))');
x0=;er=1;k=0;
while er>
x=fi(x0);
er=abs(x-x0);
x0=x;k=k+1;
end
k=16
x0=
k=6
x0=
roots([1,4,0,-10])
ans =
- +
- -

x3 + 4x2 – 10 = 0
构造有效的迭代格式
选取合适的迭代初值
对迭代格式进行收敛性分析
不动点迭代法需要研究的问题
如果,满足条件:
;
则在[a, b] 有唯一的不动点 x*.
证若或,显然有不动点.
设, 则有,
记则有
所以,存在x*,使得
即, x*即为不动点.
不动点迭代序列的收敛速度
如果,满足条件:
; (2)
则对任意的 x0∈[a, b] , 迭代格式
产生的序列{ xn }收敛到不动点 x*,且有
证

( 0<L<1 )
所以, 故迭代格式收敛


不动点迭代序列的收敛速度
数列的 r 阶收敛概念
设, 若存在 a>0 , r>0 使得
则称数列{xn} r 阶收敛.
特别: (1) 收敛阶r=1时,称为线性收敛;
(2) 收敛阶r>1时,称为超收敛;
(3) 收敛阶r=2 时,称为平方收敛。
序列的收敛阶数越高,收敛速度越快。