文档介绍：求复合函数单调区间的一种图解方法
函数单调性是函数的核心内容之一,也是高考中重点考查的知识,以考查复合函数的单调性居多。复合函数单调性的复合规律为:若函数y=f(u)与u=g(x)的单调性相同(相反),则y=f [g(x)]是增(减)函数,可概括为:“同增异减”。本文结合例题,对复合函数单调区间的求法给出一种图解方法来求解。该方法的思路是:先找出复合函数的内部函数u=g(x)和外部函数y=f(u),再画出内部函数图像,作出外部函数单调区间,通过观察图像,结合复合函数单调性的复合规律就能得出函数y=f [g(x)]的单调区间,可简述为“画内部函数图像,作外部函数单区”。
例1 函数y=的单调区间。
分析:令u=x2-2x,则y=u。画出内部函数u=x2-2x的图像(如图1-1),作外部函数y=u的单调区间(如图1-2,该函数r在上是减函数),将两个图形合为一个图形(如图1-3)。观察图1-3可以看出,在区间(-∞,1]上内外函数均为减函数,在区间[1,+∞)上内部函数增,外部函数减。所以函数y=的单调增区间为(-∞,1],单调减区间为[1,+∞)。
例2 函数y=lg(3+4x-x2)的单调区间。
分析:令u=3+4x-x2,则y=lgu。画内部函数u=3+4x-x2的图像(如图2-1),作外部函数y=lgu的单调区间(如图2-2,因为u>0,所以在x轴上以及x轴下方的图像没有意义),将两个图像合为一个图像(如图2-3),观察图像可以得出函数y=lg(3+4x-x2)的单调增区间为(2-,2],单调减区间为[2,2+]。
例3 函数y=的单调区间______。
分析:令u=x2-x-2,则y=。画u=x2-x-2的图像(如图3-1),作y=的单调区间(如图3-2,因为u
≥0,所以在x轴下方的图像没有意义)。将两个图像合为一个图像(如图3-3),由图像可知函数y=的单调增