文档介绍：摘要
幂等算子在算子理论中是具有很多特殊性的一类算子,近年来,许多学者对其进行了研究,并取得一些较好的成果。本文以空间中的幂等算子为主要研究对象。首先,讨论了空间中幂等算子的线性组合的幂等性,并将空间中幂等算子一些结论推广到空间中的幂等算子;其次,在前人所作工作的基础上,进一步讨论了空间中幂等算子的一些基本性质,给出空间中幂等算子的一些等价条件;最后,讨论了空间中幂等算子的谱;并以例题分析的形式说明了幂等算子的应用。本文的讨论虽不够深入,但对泛函分析的进一步学习有积极意义。
关键词:幂等元;幂等算子;空间;算子谱;
Abstract
Idempotent operator is a class operator with many special in operator theory, in recent years, many scholars have studied and achieved some good results .In this paper, the main object of study is idempotent operator ofspace. First of all, Discussed the idempotent of binations of the idempotent operator in space , and extended some conclusions of idempotent operator in space to space; Secondly, further discussed some basic properties of idempotent operator in space on the basis of previous work, and Given some equivalent conditions; Finally, we discuss the power spectrum of such operators ;and talk about the applications of idempotent operator in the form of examples. Although this discussion is not deep enough, it has positive significance for further study of functional analysis.
Keywords: idempotent; idempotent operator; space; spectrum of operator;
目录
摘要 I
ABSTRACT II
引言 1
一﹑基本概念 1
二、空间上的幂等算子线性组合的幂等性 4
三、空间上的幂等算子 10
(一)幂等算子的性质及定理 10
(二)幂等算子的谱 16
四、幂等算子的等价命题 17
五、幂等算子的应用 23
参考文献 26
谢辞 27
引言
幂等元是代数中的一个重要概念,也是研究代数结构的重要工具,如在研究线性空间、拓扑空间等代数结构中常常见到幂等元的应用,幂等算子作为特殊的幂等元在算子理论中是最基本的一类算子。借助于幂等算子有些问题会得到简化,算子谱投影、谱分解等一系列理论都建立在幂等算子的基础上。近年来,研究幂等算子问题是一个比较活跃的领域并得到了许多结果,本文仅将空间中的幂等算子一些结论推广到空间,并在前人的基础上讨论了空间中幂等算子的一些基本性质及定理,且经过推理进一步得到一个算子成为幂等算子的充要条件及应用。
一﹑基本概念
,若,则称为幂等矩阵;一般地,把满足()的矩阵叫做次幂等矩阵。
定义2. 设是实(或复)的线性空间,如果对每个向量,有一个确定的实数,记为与之对应,并且满足:
1),且等价于;
2)其中为任意实(复)数;
3),,,
则称为向量的范数,称按范数成为赋范线性空间。完备的赋范线性空间称为空间。
定义3. 设和是两个同为实(或复)的线性空间,是的线性子空间,为到中的映射,如果对任何,,及数,成立
,
,
则称为到中的线性算子。
定义4. 设和是两个赋范线性空间,是的线性子空间到中的线性算子,如果存在常数,使对所有,有
,
则称是到中的有界线性算子,当=时,称为到中的有界线性算子,简称为有界算子。
定义5. 设是空间上的有界线性算子。如果=,则称是(X,)上的幂等算子。一般地,把满足()的算子叫做次幂等算子。
定义6. 设是复线性空间,如果对中任何两个向量,,有一复数与之对应,并且满足下列条件:
(1),且等价于,;
(2)