文档介绍：拉普拉斯变换及逆变换
拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法,而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节拉普拉斯变换
在代数中,直接计算
是很复杂的,而引用对数后,可先把上式变换为
然后通过查常用对数表和反对数表,就可算得原来要求的数N。
这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法,而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。
一、拉氏变换的基本概念
设函数当时有定义,若广义积分在的某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为的函数,记作,即
()
称()式为函数的拉氏变换式,用记号表示。函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)。函数称为的拉氏逆变换(或称为象原函数),记作
,即。
关于拉氏变换的定义,在这里做两点说明:
(1)在定义中,只要求在时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便,以后总假定在时,。
(2)在较为深入的讨论中,拉氏变换式中的参数P是在复数范围内取值。为了方便起见,本章我们把作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。
(3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,它是一种积分变换。一般来说,在科学技术中遇到的函数,它的拉氏变换总是存在的。
求斜坡函数(,为常数)的拉氏变换。
解:
二、单位脉冲函数及其拉氏变换
在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时,要涉及到我们要介绍的脉冲函数,在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲,现要确定电路上的电流,以表示上述电路中的电量,则
由于电流强度是电量对时间的变化率,即
,
所以,当时,;当时,
。
上式说明,,引进一个新的函数,这个函数称为狄拉克函数。
设,当时,的极限
称为狄拉克(Dirac)函数,简称为函数。
当时,的值为0;当时,的值为无穷大,即。
显然,对任何,有,所以。
工程技术中,常将函数称为单位脉冲函数,有些工程书上,将函数用一个长度等于1的有向线段来表示,这个线段的长度表示函数的积分,叫做函数的强度。
求单位脉冲信号的拉氏变换。
解:根据拉氏变换的定义,有
,
即
。
现有一单位阶跃输入,求其拉氏变换。
解:,。
求指数函数(为常数)的拉氏变换。
解:,,即
类似可得;。
三、拉氏变换的性质
拉氏变换有以下几个主要性质,利用这些性质,可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换。
(线性性质) 若,是常数,且,,则
()
证明:
求函数的拉氏变换
解:
(平移性质) 若,则
(为常数) ()
证明:
位移性质表明:象原函数乘以等于其象函数左右平移个单位。
求,和。
解因为,,,由位移性质即得
(滞后性质) 若,则
()
证明:
=,
在拉氏变换的定义说明中已指出,当时,。因此,对于函数,当
(即)时,,所以上式右端的第一个积分为0,对于第二个积分,令,则
滞后性质指出:象函数乘以等于其象原函数的图形沿轴向右平移个单位。
由于函数是当时才有非零数值。故与相比,在时间上滞后了一个值,正是这个道理,,为了突出“滞后”这一特点,常在这个函数上再乘,所以滞后性质也表示为
求。
解:因为,由滞后性质得。
求。
解:因为,所以,
已知,求。
解: 可用单位阶梯函数表示为,于是
,
由拉氏变换定义来验证:
。
(微分性质) 若,并设在[0,+)上连续,为分段连续,则
()
证明:由拉氏变换定义及分部积分法,得
,
可以证明,在存在的条件下,必有。因此,
微分性质表明:一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数,再减去函数的初始值。
应用上述结果,对二阶导数可以推得
同理,可得
以此类推,可得
()
由此可见,,有更简单的结果
()
利用这个性质,可将的微分方程转化为的代数方程。
利用微分性质求和。
解:令,则,由()式,得
,
即
,
移项化简得
利用上