文档介绍：摘要
本文致力于研究如下两个方面的问题:
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全文共分五章。下面我们介绍一下各章的主要内容。
首先,在第一章我们简要介绍了本文的研究工作以及与之相关的背
景知识和发展概况。‘
在第二章预备知识中我们介绍了本文所需的基本概念及其性质,这
包括实空间中锥、体锥、正规锥的概念及几类我们所要讨论的非
线性算子的定义,此外还给出了有界线性算子半群以及正半群的相关概
念和结论。
本文的三、四两章研究了非线性算子正不动点的存在唯一性及其在
非线性积分方程中的应用。
在第三章,我们利用非线性泛函分析中的半序方法、锥理论、逐次迭
代技术,结合正半群理论分别获得了带次线性扰动与仿射扰动的减算子
正不动点定理,并将其应用于非线性积分方程中得到了正解的存在唯一
性。就我们所知这方面的结果是新的。
在第四章,我们进一步研究了混合单调算子的正不动点。其一是考察
了两类具有凸凹性的混合单调算子并获得了相应的正不动点定理。其二,
我们给出了新的带仿射扰动的混合单调算子正不动点的存在唯一性及迭
代序列的收敛性定理。这些定理推广了以往的相关结果。它们都在非线
性积分方程的研究中取得了好的应用。
需要指出的是,在第三、四两章所获得的定理中并不要求所讨论的算
子具有紧性或连续性。
在第五章,我们讨论了自动控制领域所提出的多项式零点的分布问
题,这包括多项式的稳定性问题和多项式零点的环形界问题。在本章我
们给出了一个拟临界复多项式的稳定性判据,该判据较以往相关结果更
为简单且易于检验。另外我们获得了一个新的多项式零点的环形界,这
中国科学技术大学博士学位论文
改进了以前的相应结果。本章还举了几个数值的例子以说明我们结果的
优越性。
第一章绪论
本章简要介绍了与本文所研究问题ǚ窍咝运阕拥恼欢慵
多项式零点的分布泄氐谋尘爸J丁⒎⒄垢趴鲆约拔颐堑闹饕9ぷ鳌
§非线性算子的正不动点
在数学、物理学及许多工程技术学科中,人们经常会遇到各种各样由
非线性方程绶窍咝曰址匠獭⒎窍咝晕⒎址匠所描述的非线性问
题。例如,在核物理的中子迁移理论中,考虑位于两平面一蛕
之间的无限长板式核反应堆,则会出现下面的非线性积分微分方程
见文献【】、俊ⅰ:
逴欢⒓.￡蛕,弘#陁∥,
其中,
芻七粃咭浚珻,∑苉鴆,
且,,⋯,糁兄辽儆幸桓霾晃A即。賝
相应的边界条件为:
,
,,,
此方程的解琾砹嗽诘銁沿方向瑉将一中子注入此
核反应堆后能产生链式反应的概率琁。,而硪恢凶雍头
应堆中一原子核相碰撞时所出现的中子的平均数目,表碰撞时中子被
俘获的概率,,⋯,Ⅳ砼鲎埠蟪鱿殖撸焊鲋凶拥母怕剩趒则
表示两碰撞间中子的平均自由程。
啵耫妒/一可妒狥:一七./一可妒近些年来,随着人们对非线性问题的广泛重视,作为处理该问题的有力的数学工具,非线性泛函分析受到越来越多的关注并成为近代分析数学的一个重要分支,它的概念与方法已经渗透到数学、物理学、工程力学、生物学、经济学等科学技术领域,并在很多非线性问题的研究中发挥非线性泛函分析的内容可以追溯到上个世纪二、三十年代,其常用的研究方法包括变分方法、拓扑方法等。这些方法是非线性泛函分析的重要组成部分。但它们大都要求所研究的问题本身具有连续性或紧性。我们知道,在理论和应用中出现的大量的非线性方程往往是缺乏连续性或紧性的。例如,无穷维空间中的微分方程、积分方程以及无界区域上的各种方程大多不具有紧性,而与脉冲、突变、断裂等问题相联系的方程也大都不具有连续性。另外,在实际问题的数学模型中我们需要讨论非线性方程非负解的存在性缟鲜龅闹凶忧ㄒ品匠。我们知道,对于非线性方程的求解可以转化为等价的非线性算子不动点的存在性问题。例如,对上面的中子迁移方程我们可将其转化为一等价的突分方程:‘其中,进而可考察炙阕不动点的存在性。由此可见,非线性算子的不动点无论在理论还是应用都发挥着重要作用,关于这方面的研究结果可参见文献【、【】、【此外,由锥可以定义序关系“≤”,从而可以确定研究对象的非负性。这就促使我们将非线性方程非负解吹燃鄯窍咝运阕拥恼欢的存在性问题置于锥的框架中来进行研究。另外,序关系还可将通常的单调着重要的作用。第一章绪论中国科学技术大学博士学位论文§非线性算子的正不动点√一。,·。,。√一口厶√盯“
献俊】、、芬籟】、恳弧、俊芬籟】、卜【俊然人簂减算子的不动点研究较多鏪卜俊⒂牟贰俊ⅰ綠、及迭代序列的收敛性定理,并将其应用于无界区域上的非线性积分方程/性、凸凹性概念推广到高维空间,故我们可以利用这些性质来讨论非连续性或非紧性算子正不动点的存在性问题。上