文档介绍：Ch3 投影变换
§3-1换面法概述
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置(平行、垂直)时,它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。
当直线或平面和投影面处于一般位置时,则它们的投影不具备上述特性。
换面法的目的,就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置,以便于解决它们的度量和定位问题。
换面法就是保持空间几何元素不动,用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面,使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。然后找出其在新投影面上的投影。
(1)新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置;
(2)新投影面必须垂直于一个原有的投影面;
(3)在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。
§3-2 变换投影面法
点是一切几何元素的基本元素。因此在研究换面时,首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。
(1)换V面
图3-25(a)表示点A在原投影体系V/H中,其投影为和现令H面不动,用新投影面V1来代替V面,V1面必须垂直于不动的H面,这样便形成新的投影体系V1/H,O1X1是新投影轴。
过点A向V1面作垂线,得到V1面上的新投影,点是新投影,点是旧投影,点是新、旧投影体系中的共有的不变投影。和是新的投影体系中的两个投影,将V1面绕O1X1轴旋转到与H面重合的位置时,就得到图3-25(b)所示的投影图。
(a) (b) (c)
图3-25点的一次变换(换V面)
由于在新投影体系中,仍采用正投影方法,又在V/H投影体系和V1/H体系中,具有公共的H面,所以点到H面的距离(Z坐标)在两个题词体系中是相等的。所以有如下关系:
⊥O1X1轴;==A,即:换V面时Z坐标不变。
由此得出点的投影变换规律是:
①点的新投影和不便投影的连线,必垂直于新投影轴;
②点的新投影到新投影轴(O1X1)的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴(OX)的距离,也即换V面时高度坐标不变。
换V面的作图方法和步骤如图3-25(c)所示:
①在被保留的H投影附近(适当的位置)作O1X1轴;
②由H投影向新投影轴O1X1作垂线,在此垂线上量取=,点即为所求。
(2)换H面
换H面时,新就投影之间的关系与换V面类似,也存在如下关系:
⊥O1X1轴;==A,换H面是Y坐标不变。
其作图方法和步骤与换V面类似2-25(c),可依此类推,此略。
由于应用换面法解决实际问题时,有时一次换面还不便于解题,有时还需要二次或多次变换投影面。如图3-27表示点的二次换面,其求点的新投影的作图方法和原理与一次换面相同。
但要注意:在更换投影面时,不能一次更换两个投影面,为在换面过程中二投影面保持垂直,必须在更换一个之后,在新的投影体系中交替地再更换另一个。如2-26(a)所示,先由H1代替H面,构成新的投影体系V/H1,O1X1为新坐标轴;再以这个新投影体系为基础,以V2面代替V面,又构成新的投影体系V2/H1,O2X2为新坐标轴。
二次换面的作图步骤如图3-26(b)所示:
(1)先换H面,以H1面替换H面,建立V/H1新投影体系,得新投影,而==A,作图方法与点的一次换面完全相同;
(2)再换V面,以V2面替换V面,