文档介绍：:如果向量组线性无关,而线性相关,,可以找到不全为零的数使,,若,而不全为零,使成立,这与线性无关的假设矛盾,,即向量可由线性表出。
4.,证明:如果,那么线性无关。证设有线性关系,代入分量,可得方程组由于,故齐次线性方程组只有零解,从而线性无关。
,.证明:是线性无关的。证设有线性关系,则,1)当时,方程组中的未知量个数与方程个数相同,且系数行列式为一个范德蒙行列式,即,所以方程组有惟一的零解,这就是说线性无关。2)当时,令则由上面1)的证明可知是线性无关的。而是延长的向量,所以也线性无关。
,证明也线性无关。证设由线性关系
,则。
再由题设知线性无关,所以,解得,所以线性无关。
,证明:,如果能够证明任意一个向量都可由线性表出就可以了。事实上,向量组是线性相关的,否则原向量组的秩大于,,再由的任意性,即证。
,是中的个向量,使得中每个向量都可被它们线性表出,证明:是的一个极大线性无关组。证由题设知与等价,所以的秩与的秩相等,,故而是的一个极大线性无关组。
:一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组。证将所给向量组用(Ⅰ)表示,它的一个线性无关向量组用(Ⅱ)表示。若向量组(Ⅰ)中每一个向量都可由向量组(Ⅱ)线性表出,那么向量组(Ⅱ)就是向量组(Ⅰ),向量组(Ⅰ)至少有一个向量不能由向量组(Ⅱ)线性表出,此时将添加到向量组(Ⅱ)中去,得到向量组(Ⅲ),且向量组(Ⅲ)是线性无关的。进而,再检查向量组(Ⅰ)中向量是否皆可由向量组(Ⅲ),再把不能由向量组(Ⅲ)线性表出的向量添加到向量组(Ⅲ)中去,得到向量组(Ⅳ)。继续这样下去,因为向量组(Ⅰ)的秩有限,所以只需经过有限步后,即可得到向量组(Ⅰ)的一个极大线性无关组。
,,,,。证明:线性无关。把扩充成一极大线性无关组。证 1)由于的对应分量不成比例,因而线性无关。2)因为,且由,
可解得,所以线性无关。再令,代入已知向量后,由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0,因而该齐次线性方程组存在非零解,即线性相关,所以可由线性表出。这意味着就是原向量组的一个极大线性无关组。
注此题也可将排成的矩阵,再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形,然后得到相应结论。
:如果向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表出,那么(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩。证由题设,向量组(Ⅰ)的极大线性无关组也可由向量组(Ⅱ)的极大线性无关组线性表出,即证向量组(Ⅰ)的秩不超过向量组(Ⅱ)的秩。
,已知单位向量可被它们线性表出,证明:线性无关。证设的秩为,而的秩为。
由题设及上题结果知,从而,故线性无关。
,证明:线性无关的充分必要条件是任一维向量都可被它们线性表出。,但是个维向量必线性相关,于是对任意维向量,它必可由线性表出。充分性任意维向量可由线性表出,特别单位向量可由线性表出,于是由上题结果,即证线性无关。
:方程组