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集合论的创立与康托尔的遭遇
19世纪末期,数学界出现了一件引人注目的事情。一位名叫康托尔(, 1845-1918)的德国数学家提出一种令人费解的古怪理论----集合论。它的内容是如此与常识格格不入,以致于一出世就引起了一场轩然大波。
自从17世纪牛顿和莱布尼茨创立微积分理论体系之后,在近一二百年时间里,微积分理论一直缺乏一个严格的逻辑基础。它的一些基本概念的表述,还有某些混乱和自相矛盾之处。从19世纪开始,柯西、魏尔斯特拉斯等人进行了微积分理论严格化的工作。他们建立了极限理论,并把极限理论的基础归结为实数理论。那么,实数理论的基础又该是什么呢?康托尔试图用集合论来作为实数理论,以至整个微积分理论体系的基础。
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出于这一目的,康托尔用集合的观点重新考察各种数量关系,特别是无穷数量关系。他发现,无穷集合有着有穷数量关系所不具备的性质。比如,在无穷集合领域,所有整数和所有偶数之间是一一对应的,所有有理数和所有整数之间是一一对应的,平面上所有的点和线段上所有的点是一一对应的,……概言之,在无穷的世界里,整体的所有元素和部分的所有元素之间可以是一一对应的。另外,无穷集合并不都是相等的,比如所有实数和所有有理数之间就不是一一对应的。因而,无穷集合是有大小的。集合论用“基数”这个概念来表示无穷集合间的区别。
那么,有没有一个最大的集合呢?康托尔通过研究,否定了这个想法。因为每个已知集合的所有子集所构成集合,其基数都大于已知集合的基数。既然没有最大的基数,当然也没有最大的集合。无穷世界里的这些性质, 初看起来,真是令人头晕目眩。
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康托尔的研究成果发表之后,马上遭致当时一些赫赫有名的数学家的激烈攻击。德国数学家克隆尼克是这些人中言辞最激烈、攻击时间最长的一个。
克隆尼克比康托尔年长22岁。他主张,除非一种数学对象能够用有限步骤从自然数中构造出来,否则不能认为它在数学上是存在的。他有一句“名言”:“上帝创造了自然数,其余的一切才是人做的工作”。因此,他否认无理数的存在,也否认极限理论的意义。虽然康托尔是他的学生,但由于集合论的内容同他的主张大相径庭,所以克隆尼克简直到了不能容忍的程度。他认为,康托尔关于超限数的研究,是一种非常危险的数学疯病。克隆尼克的影响还使康托尔的学术论文一再延误发表日期。
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除了克隆尼克之外,还有一些著名数学家也对集合论发表了反对意见。
法国数学家彭加勒说:“我个人,而且还不只我一人,认为重要之点在于,切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。他把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈,并且预测说:“后一代将把(Cantor)集合论当作一种疾病,而人们已经从中恢复过来了”。
德国数学家魏尔认为,康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾。
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,但他由于反对集合论而同康托尔断交。
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尽管有希尔伯特等著名数学家赞同他的集合论,尽管他的集合论事实上已取得巨大的成功,仍未能使康托尔感到欣慰和满足。 从1884年春天起,即在他40岁的时候,他患了严重的忧郁症,极度沮丧,神态不安。不过,在精神病发作的间歇阶段,康托尔仍然顽强地坚持集合论的研究。而且当每次从精神病发作中恢复过来的时候,他都感