文档介绍：求函数值域方法
基本知识
定义:因变量y的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合)。
函数值域常见的求解思路:
⑴.划归为几类常见函数,利用这些函数的图象和性质求解。
⑵.反解函数,将自变量x用函数y的代数式形式表示出来,利用定义域建立函数y的不等式,解不等式即可获解。
⑶.可以从方程的角度理解函数的值域,如果我们将函数看作是关于自变量的方程,在值域中任取一个值,对应的自变量一定为方程在定义域中的一个解,即方程在定义域内有解;另一方面,若取某值,方程在定义域内有解,则一定为对应的函数值。从方程的角度讲,函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围。特别地,若函数可看成关于的一元二次方程,则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件,利用判别式求出函数的值域。
⑷.可以用函数的单调性求值域。
⑸.其他。
函数值域的求法
(1)、直接法:从自变量的范围出发,推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。
例1:求函数的值域。
例2:求函数的值域。
例3:求函数的值域。
解:∵,∴,
∴函数的值域为。
(2)、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题,均可使用配方法。
例1:求函数()的值域。
解:,
∵,∴,∴
∴,∴
∴函数()的值域为。
(3).最值法:对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。
例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。
解:由3-2x-x2≥0,解出定义域为[-3,1]。函数y在[-3,1]内是连续的,在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4,最小值为0。
∴函数的值域是[0,2]
例2:求函数,的值域。
例3:求函数的值域。
(4)、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。
例1:求函数的值域。
解:由解得,
∵,∴,∴
∴函数的值域为。
(5)、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。小结:已知分式函数,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为,用复合函数法来求值域。
例1:求函数的值域。
解:∵,
∵,∴,
∴函数的值域为。
(6)、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如
(、、、均为常数,且)的函数常用此法求解。
例1:求函数的值域。
解:令(),则,
∴
∵当,即时,,无最小值。
∴函数的值域为。
(7)、判别式法:把函数转化成关于的二次方程;通过方程有实数根,判别式,从而求得原函数的值域,形如(、不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。
例1:求函数的值域。
解:由变形得,
当时,此方程无解;
当时,∵,∴,
解得,又,∴
∴函数的值域为
(8)、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。
例1:求函数的值域。
解:∵当增大时,随的增大而减少,随的增大而增大,
∴函数在定义域上是增函数。
∴,
∴函数的值域为。
。
分析与解答:任取,且,则
,因为,所以:,
当时,,则;
当时,,则;而当时,
于是:函数在区间上的值域为。
构造相关函数,利用函数的单调性求值域。
例3:求函数的值域。
分析与解答:因为,而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数,易知在定义域内单调增。,,,,
又,所以:,。
(9)、基本不等式法
利用基本不等式和是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取成立的条件.
例1 求函数的值域.
解答: , 当且仅当时成立. 故函数的值域为.
此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.
例2 求函数的值域.
解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:
, (2)
将上面等式的左边展开, 有:
,
故而, .
解得, .
从而原函数;
ⅰ)当时, , , 此时, 等号成立, 当且仅当.
ⅱ)当时, , , 此时有
,
等号成立, 当且仅当.
综上, 原函数