文档介绍：第三章导数及其应用
§ 变化率与导数、导数的计算
基础自测
=x2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δx,2+Δy),则为( )
A. B.
C. D.
答案 C
(x)=sinx(cosx+1),则等于( )
-cosx -sinx
+cosx +cosx
答案 C
=f(x)在R上可导且满足不等式x>-f(x)恒成立,且常数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立
的是( )
(b)>bf(a) (a)>bf(b) (a)<bf(b) (b)<bf(a)
答案B
4.(2008·辽宁理,6)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是,则点P横坐标的取值范围为( )
A. B.[-1,0] C.[0,1] D.
答案A
5.(2008·全国Ⅱ理,14)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= .
答案 2
例1 求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
解∵Δy=
例2 求下列各函数的导数:
(1) (2)
(3) (4)
解(1)∵
∴y′
(2)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.
方法二=
=(x+3)+(x+1)(x+2)
=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.
(3)∵y=
∴
(4) ,
∴
例3 (12分)已知曲线y=
(1)求曲线在x=2处的切线方程;
(2)求曲线过点(2,4)的切线方程.
解(1)∵y′=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=|x=2=4. 2分
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 4分
(2)设曲线y=与过点P(2,4)的切线相切于点,
则切线的斜率k=|=. 6分
∴切线方程为即 8分
∵点P(2,4)在切线上,∴4=
即∴
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 12分
=在x=x0处的导数.
解
2. 求y=tanx的导数.
解 y′
=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切,则k= .
答案 2或
一、选择题
( )
A.-1 B.-2 D.
答案 A
2.(2008·全国Ⅰ理,7)设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于( ) B. C. D.-2
答案D
=x3-3x2+(3-)x+上移动,经过点P的切线的倾斜角为,则角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
=x3-2x2-4x+2在点(1,-3)处的切线方程是( )
+y+2=0 -y-2=0
+y-2=0 -y+2=0
答案C
,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1≠x2),|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|恒成立”的只有( )
A. (x)=|x|
(x)=2x (x)=x2
答案 A
:y=3x-x3及点P(2,2),则过点P可向S引切线,其切线条数为( )
答案 D
二、填空题
=和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.
答案
8. 若函数f(x)的导函数为=-x(x+1),则函数g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调递减区间是.
答案
三、解答题
9. 求下列函数在x=x0处的导数.
(1)f(x)=(2)
解(1)∵∴=0.
(2)∵∴
10. 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.
解设曲线上过点P(x0,y0)的切线平行于直线2x-y+3=0,即斜率是2,
则
解得x0=1,所以y0=0,即点P(1,0),点P到直线2x-y+3=0的距离为,
∴曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.
11.(2008·海南、宁夏,21)设函数(a,b∈Z),曲线在点处的切线方