11-5对坐标的曲面积分.ppt

文档介绍：对坐标的曲面积分
第五节
一、对坐标的曲面积分的概念及性质

通常我们所遇到的曲面都是双侧的,如图
曲面有上侧与下侧
曲面有内侧与外侧
莫比乌斯带
(典型单侧曲面)
播放
现实生活中还存在着单侧曲面,如
在讨论对坐标的曲面积分时,需要指定曲面的侧.
所以曲面有两类:
1. 双侧曲面;
2. 单侧曲面.
对于双侧曲面我们可以通过曲面的法向量来
例如,对于曲面z = f (x,y),如果取它的法向量
又如对封闭曲面,如果取它的法向量向外,
这种决定了侧的曲面称为有向曲面.
确定曲面的侧.
向上,我们就认为取定曲面的上侧;
我们就认为取定曲面的外侧.

上侧
下侧
左侧
右侧
前侧
后侧
设函数 R(x,y,z) 在有向光滑曲面Σ上有界,
将曲面Σ任意分成 n 块有向小曲面
在每一小曲面上
作和式
如果上述和式的极限存在,
并且与曲面Σ的分法及
点Pi 的的取法无关,
则称此极限值为函数 R(x,y,z) 在
记作
任取一点
曲面Σ上对坐标 x, y 的曲面积分,
即

可以证明当被积函数在光滑曲面Σ上连续时,
对坐标的曲面积分总存在.
类似地可定义
实际应用中常见的是下列组合形式:
4. 对坐标的曲面积分的性质
性质1
性质2
前后侧
左右侧
上下侧
内外侧
则
“一投、二代、三定号”
二、对坐标的曲面积分的计算