文档介绍：2013中考全国100份试卷分类汇编
二次函数
1、(2013杭州)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A,B(点A,B在原点O两侧),与y轴相交于点C,且点A,C在一次函数y2=x+n的图象上,线段AB长为16,线段OC长为8,当y1随着x的增大而减小时,求自变量x的取值范围.
考点:二次函数的性质;抛物线与x轴的交点.
专题:分类讨论.
分析:根据OC的长度确定出n的值为8或﹣8,然后分①n=8时求出点A的坐标,然后确定抛物线开口方向向下并求出点B的坐标,再求出抛物线的对称轴解析式,然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围;②n=﹣8时求出点A的坐标,然后确定抛物线开口方向向上并求出点B的坐标,再求出抛物线的对称轴解析式,然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围.
解答:解:根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或﹣8.
分类讨论:①n=8时,易得A(﹣6,0)如图1,
∵抛物线经过点A、C,且与x轴交点A、B在原点的两侧,
∴抛物线开口向下,则a<0,
∵AB=16,且A(﹣6,0),
∴B(10,0),而A、B关于对称轴对称,
∴对称轴直线x==2,
要使y1随着x的增大而减小,则a<0,
∴x>2;
(2)n=﹣8时,易得A(6,0),如图2,
∵抛物线过A、C两点,且与x轴交点A,B在原点两侧,
∴抛物线开口向上,则a>0,
∵AB=16,且A(6,0),
∴B(﹣10,0),而A、B关于对称轴对称,
∴对称轴直线x==﹣2,
要使y1随着x的增大而减小,且a>0,
∴x<﹣2.
点评:本题考查了二次函数的性质,主要利用了一次函数图象上的点的坐标特征,二次函数的增减性,难点在于要分情况讨论.
2、(2013年南京)已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m) (a、m为常数,且a¹0)。
(1) 求证:不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点;
(2) 设该函数的图像的顶点为C,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D。
当△ABC的面积等于1时,求a的值:
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值。
解析: (1) 证明:y=a(x-m)2-a(x-m)=ax2-(2am+a)x+am2+am。
因为当a¹0时,[-(2am+a)]2-4a(am2+am)=a2>0。
所以,方程ax2-(2am+a)x+am2+am=0有两个不相等的实数根。
所以,不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点。(3分)
(2) 解:j y=a(x-m)2-a(x-m)=(x- )2- ,
所以,点C的坐标为(,- )。
当y=0时,a(x-m)2-a(x-m)=0。解得x1=m,x2=m+1。所以AB=1。
当△ABC的面积等于1时,´1´| - |=1。
所以´1´( -)=1,或´1´=1。
所以a= -8,或a=8。
k 当x=0时,y=am2+am,所以点D的坐标为(0, am2+am)。
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,
´1´| - |= ´1´| am2+am |。
所以´1´( -)= ´1´(am2+am),或´1´ = ´1´(am2+am)。
所以m= - ,或m= ,或m= 。(9分)
3、(2013凉山州)先阅读以下材料,然后解答问题:材料:将二次函数y=﹣x2+2x+3的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,求平移后的抛物线的解析式(平移后抛物线的形状不变).
解:在抛物线y=﹣x2+2x+3图象上任取两点A(0,3)、B(1,4),由题意知:点A向左平移1个单位得到A′(﹣1,3),再向下平移2个单位得到A″(﹣1,1);点B向左平移1个单位得到B′(0,4),再向下平移2个单位得到B″(0,2).
设平移后的抛物线的解析式为y=﹣x2+bx+″(﹣1,1),B″(0,2):,解得:.所以平移后的抛物线的解析式为:y=﹣x2+2.
根据以上信息解答下列问题:将直线y=2x﹣3向右平移3个单位,再向上平移1个单位,求平移后的直线的解析式.
考点:二次函数图象与几何变换;一次函数图象与几何变换.
专题:阅读型.
分析:根据上面例题可在直线y=2x﹣3上任取两点A(0,﹣3),由题意算出A向右平移3个单位,再向上平移1个单位得到A′点坐标,再设平移后的解析式为y=2x+b,再把A′点坐标代入解析式即可.
解答:解:在直线y=2x﹣3上任取两点A(0,﹣3),由题意知A向右平移3个单位,再向上平移1个单位得到A′(3,﹣2),
设平移后的解析式为y=2x+b,
则A′(3,﹣2)