分部积分的计算方法.doc

文档介绍：§
(一) 教学目的:熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法.
(二) 教学内容:第一、二换元积分法;分部积分法.
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如何计算不定积分?我们知道,,那么是否有?显然不对。
计算不定积分,仅有直接积分法还是不行的。如、、等积分就不能直接积分,下面探讨其它的计算不定积分的方法。
换元积分法

定理1(第一换元积分法)若函数在[a,b]可导,且,,有,则函数存在原函数,即
**具体应用此定理计算不定积分时,其过程是这样的:

分析:我们有公式,而上述积分中被积函数根号里面还要加5,不能直接用公式。为了能用公式计算,进行凑微分:
解:

分析:为了能应用公式计算,进行凑微分:
解:
一般地,在计算积分的时候,有时为了化为能用公式计算,我们常根据需要作下面的凑微分公式:
(1)
**计算熟练以后,就可以省略“设”的步骤,把所设的式子当作一个整体,在心里面想着它是一个变数,就可以使书写简化。如上面的例子,就可以简化为

分析:注意到我们有
解:
一般地,我们有凑微分公式:
(2)
特殊地,有
,
,
等等。
除此以外,我们还可以写出许多凑微分公式:
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)

分析:应用凑微分公式(2),有
解:(略)






补充例题:

这是一种与凑微分法的过程刚好相反的计算不定积分的方法。
定理2(第二换元积分法)若函数在可导,,且,函数在有定义,,有
则函数在存在原函数,且
具体应用此定理计算不定积分时,其过程是这样的:

分析:被积函数带有根号,想办法去掉。联想到三角函数公式,于是作变换,则,根号去掉了。
解:设,则,于是
由,得,所以
∴
一般地,当被积函数是含有形如的式子时,都可考虑作变量替换,目的是去掉根号。此时

解:设,则有,于是
x
t
a
要将变量还原为x ,由,可得,于是
一般地,当被积函数是含有形如的式子时,都可考虑作变量替换,目的是去掉根号。此时,

解:设,则有,
∴
t
x
a
当时,
由,得,,于是
当时,
由,,
综上所述,对任意,有
一般地,当被积函数是含有形如的式子时,都可考虑作变量替换,目的是去掉根号。此时
,
分部积分法
我们知道,
即
于是,
或
这就是分部积分公式。
应用分部积分公式计算不定积分的过程一般为:
在这里,主要是把不定积分的计算转化为不定积分计算。通过这样的转化,往往会达到化未知为已知,化繁为简,化难为易的目的。
在分部积分的过程中,还是要凑微分,

分析:初看这道题,会感到无从下手。尝试一下使用分部积分。可以有两个凑微分的方向:
或
走哪条路好呢?通过尝