文档介绍：,则其加群中所有非零元的阶相同,或是无限,或是一个素数。设R是无零因子环,当其加群中所有非零元的阶无限时,chR=0;当此阶为素数p时,chR=p。域F的特征或是零,或是素数。定义1:设F是域,1是F的单位元,若1在(F,+)的阶数为无穷大,则称F的特征为0;若1在(F,+)的阶数为素数p,则称F的特征为p。挎峨句熬封色惋带渔典箔铁橙掖助瘪待苗兼葵硬毡蓖镍伶骤闭狈俺所异痉第五章域第五章域只含有限个元素的域称为有限域。有限域的元素个数称为有限域的阶。每个特征为零的域都是无限域。有限域的特征一定是素数。在特征是素数p的域F中,下列等式成立:(a+b)p=ap+bp,(a-b)p=ap-bp,a,bF。*关于乘法做成的群称为有限域的乘法群。命题1:设Fq是一个含有q个元素的有限域,Fq*=Fq\{0},则Fq的乘法群Fq*是一个循环群。定义2:设Fq是一个有限域,Fq*=Fq\{0},Fq*的生成元称为Fq的本原元。命题2:设Fq是一个含有q个元素的有限域,则Fq中共有(q-1)个本原元。:求有限域F5=Z5的所有本原元。解:2和3是F5的本原元。例2:求模14的原根。解:3和11是模14的原根。命题3设F是一个域,若chF=0,则F含有一个与有理数域同构的子域;若chF=p,则F含有一个与Z/(p)同构的子域。:设F是一个特征为p的有限域,则F的元素个数一定为p的一个幂pn,n≥1。定理2:对任意素数p和任意正整数n,一定存在一个含有pn个元素的有限域。命题4:设Fq是一个含有q个元素的有限域,对任意正整数n,Fq上的n次不可约多项式一定存在。夜虚渗热糜释妊痞驴臆毒碧酋铬椅己耀入顿紧鄂拇棋气腹冶颠冈嘎风弯啤第五章域第五章域将阶为pn的有限域记作GF(pn),称之为pn阶的Galois域。定理3:设Fq是一个含有q个元素的有限域,设p是一个素数,Zp={0,1,2,…,p-1},设f(x)是Zp上的一个n次不可约多项式。若|Fq|=pn,其中n≥2是一个整数,则Fq与Zp[x]/(f(x))同构。若|Fq|=p,则Fq与Zp同构。钙认躁则坐霉巷羽胶速犬党驭齐雷渡叫装揣笆峻矾幅纹铝浪丙咖喝邱斧***第五章域第五章域设p是任意给定的一个素数,n是任一正整数。令f(x)是域Zp上一个n次不可约多项式,则Zp[x]/(f(x))是域,Zp[x]/(f(x))={a0+a1x+…+an-1xn-1+(f(x))|aiZp}。域Zp[x]/(f(x))共包含pn个元素。把a0+a1x+…+an-1xn-1+(f(x))简记为:a0+a1x+…+an-1xn-1。(pn)[x]=Zp[x]/(f(x)),则GF(pn)[x]={a0+a1x+…+an-1xn-1|aiZp},其系数的加法和乘法遵从模p的加法和乘法,多项式的加法和乘法遵从模f(x)的加法和乘法。例3:把a0+a1x+(x2+x+1)简记为a0+a1x,则Z2[x]/(x2+x+1)的加法和乘法的运算表简化如下:雹吵沈诛日慢内事匈候劝镰玫锰驾终揩吴琐嗽抒炼只趣禹闯霄买弃糖肯劈第五章域第五章域