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2009年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学(理工农医类)
选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
若a<0,>1,则(D)
>1,b>0 >1,b<0 C. 0<a<1, b>0 D. 0<a<1, b<0
,b,“a//b”的确良(A)
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
=sinx的图象向左平移0 <2的单位后,得到函数y=sin的图象,则等于(D)
A. B. C. D.
,当参数时,连续函数的图像分别对应曲线和, 则[ B]
A B
C D
,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数位[ C]
A 85 B 56 C 49 D 28
6. 已知D是由不等式组,所确定的平面区域,则圆在区域D内
的弧长为[ B]
A B C D
—的棱上到异面直线AB,C的距离相等的点的个数为(C)
C. 4 D. 5
(,+)内有定义。对于给定的正数K,定义函数

取函数=。若对任意的,恒有=,则
B. K的最小值为2
D. K的最小值为1 【D】
二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上
,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__
,的系数为___7__(用数字作答)
11、若x∈(0, )则2tanx+tan(-x)的最小值为2.
12、已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60 ,则双曲线C的离心率为
13、一个总体分为A,B两层,其个体数之比为4:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知B层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个数数位 50 。
14、在半径为13的球面上有A , B, C 三点,AB=6,BC=8,CA=10,则
(1)球心到平面ABC的距离为 12 ;
(2)过A,B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为(锐角)的正切值为 3
15、将正⊿ABC分割成(≥2,n∈N)个全等的小正三角形(图2,图3分别给出了n=2,3的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别一次成等差数列,若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n),则有f(2)=2,f(3
)= ,…,f(n)= (n+1)(n+2)
:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
在,已知,求角A,B,C的大小。
解:设
由得,所以
又因此
由得,于是
所以,,因此
,既
由A=知,所以,,从而
或,既或故
或。
17.(本小题满分12分)
为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、,现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。
(I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;
(II)记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数,求的分布列及数学期望。
解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件,,,i=1,2,,相互独立,相互独立,,,(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,且P()=,P()=,P()=
他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=3!P()=6P()P()P()=6=
(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由己已知,-B(3,),且=3。
所以P(=0)=P(=3)==,
P(=1)=P(=2)= =
P(=2)=P(=1)==
P(=3)=P(=0)= =
故的分布是
0
1
2
3
P
的数学期望E=0+1+2+3=2
解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件,
i=1,2,3 ,由此已知,·D,相互独立,且
P()-(,)= P()+P()=+=
所以--,既,
故的分布列是
1
2
3
18.(本小题满分12分)
如