文档介绍：第三章非平稳过程的时间序列分析
§1 Brown运动及其性质
我们知道,平稳的时间过程可用ARMA模型或谱表示来近似表达。在统计上,可通过样本值推断出未知参数以及的估计,或给出它的谱密度估计。并可检验模型设定的合理性。但是,经济中仍有大量数据表现出趋势平稳性和非平稳性。如趋势平稳:GDP增长、货币增长等;差分平稳:股票、汇率、利率等的涨落。对非平稳的时间过程,沃尔德分解就不成立。参数估计所依据的极限定理也不能用。我们需要对非平稳的时间序列的描述引入新的工具和更一般的极限定理。它们与布朗运动有关。
定义:布朗运动是一个连续时间的随机过程,。(r也可以是R或)如果满足条件:(1)具有概率1;(2)对,有正态分布:。称为正态性。(3)对,,是相互独立的。称为独立增量性。
注:布朗运动是物理的称谓,数学上叫维纳过程。。理论解释是爱因斯坦1905年首先从物理定律中导出。直到1918年,维纳在他的博士论文和后面一系列的论文中得到了布朗运动的精确数学表达和定义。从定义上看,布朗运动的本质是它的正态性和独立增量性。
·下面我们给布朗运动一个直观的物理解释:
考虑粒子在直线上的随机游动,表示粒子在t时的位置。规定为出发点,且粒子转移的时间间隔为(离散化),转移的步长为。设随机变量表示在时刻是即第k次转移的方向:
。那么,就可以表示成:
。其中表示的整数部分,含义是在[0,t]时段进行了转移的次数。可以认为是相互独立的,且,。则,。现在令且。但要求的方差不能趋于0或。理由是,若,则几乎等于0,粒子几乎不动。又若,则意味着粒子在很短时间内远离出发点。这都不符合粒子运动的实际情况。所以,与之间的关系:若,则;若
,则。这都不合适。合理的假设条件只能是,,即,,。则。再由中心极限定理,得:
,当。
所以,只要转移时间与步长的平方成正比,当。就有,。
又从该模型的物理背景,我们知道,粒子运动在不相交的时间区间是相互独立的。并且在任何时间段内随机游动的位置变化只依赖于时间的长度。因此,具有独立增量性和平稳性。综上所述,我们可以看出,布朗运动是与不衰减的随机游动紧密相关的。
·布朗运动轨道的连续性和不可微性的说明:
从物理含义上看,布朗运动的轨道实质是在大量粒子中随机观察某一个粒子的轨迹。显然,轨迹应当是连续的。但是,粒子每一瞬间都受到介质中分子的碰撞,碰撞后的方向是任意的,而且速度为无穷。
从概率含义上看,由,。所以,给定,几乎处处有连续。又对任意给定的,有,
,。此表明,布朗运动在任一点t 的导数为有限的概率为0。即几乎每条轨线上其导数都不存在。
·布朗运动的有限维分布:
给定,欲求随机向量的分布。
令。则独立,且
。故有联合分布。
。由。即,。所以,。特别,,那么,。所以,对任意,,有。
·布朗运动的平方可和性:
给定区间,,将进行分割,记第n次分割时的最大子区间长为,如果,例如,取或等分。那么,。
证明: 记,则,
成立。
又,。
(由,和标准正态分布的4阶矩等于3。)故有:
。所以,。即有,
。所以,几乎处处成立。
所以,。
利用布朗运动的平方可和性,可以构造一种新的积分形式。
§2 布朗运动的积分
由于给定,是连续函数,连续函数是黎曼可积的,于是,我们可以定义,,这是一个随机变量。更一般,我们定义,,。这是一个随机过程,称为布朗运动的关于时间的积分。
因为黎曼和中每个,所以,黎曼N项和的分布都是0均值的正态分布。因此,它的极限分布也是0均值的正态分布。为要得到的分布,我们来计算的方差和协方差。
。此与时点s和t有关。特别,我们有,。所以,,且不再是布朗运动。因为不再具有独立增量性和平稳性,但仍保留了正态性,故是一个高斯过程。
下面考虑如下形式的积分:
,这里是连续可微函数。注意,这时积分的理念发生了本质性的变化,分割的不再是[0 1]区间,而是[0 1]上的布朗运动。进一步考虑随机过程和随机过程的连续二次可微函数的积分,即。特别,,这就是伊藤定义的随机积分。问题是这种积分能不能像一般的R—S积分的定义那样,存在一个不依赖分法和取法的求和极限?
我们来考察积分的定义,是一个二阶矩过程,即。引入的一组分点,,记。于是得到的一组相应的分割:。类似于黎曼和,考察和式:
,其中。如果,收敛。那么该和式就满足R—S积分的定义。但遗憾的是,我们知道,关于t是几乎处处不可微的,所以必不是有界变差的。即和式不收敛。又当任意取,n项和极限可能依赖于的取法,导致极限不存在。故上述和式没有意义。我们需要对和式和收敛方式加以限制。由布朗运动的性质知,是平方变差是可和的,于是,我们固定取左