文档介绍：二、无界函数反常积分的审敛法
第二节
反常积分
无穷限的反常积分
无界函数的反常积分
一、无界函数的反常积分
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无界函数的反常积分
第六章
一、无界函数的反常积分
引例:曲线
所围成的
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
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设
而在点 a 的右邻域内无界,
存在,
这时称反常积分
收敛;
如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散.
类似地, 若
而在 b 的左邻域内无界,
若极限
数 f (x) 在[a , b] 上的反常积分, 记作
则定义
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则称此极限为函
若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
说明:
而在点 c 的
无界函数的积分又称作第二类反常积分,
无界点常称
邻域内无界,
为瑕点(奇点) .
例如,
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间断点,
而不是反常积分.
则本质上是常义积分,
则定义
注意: 若瑕点
的计算表达式:
则也有类似牛–莱公式的
若 b 为瑕点, 则
若 a 为瑕点, 则
若 a , b 都为瑕点, 则
则
可相消吗?
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例1. 计算反常积分
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解
下述解法是否正确:
, ∴积分收敛
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例2. 讨论反常积分
的敛散性.
解:
所以反常积分
发散.
例3. 证明反常积分
证: 当 q = 1 时,
当 q < 1 时收敛; q≥1
时发散.
当 q≠1 时
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛, 其值为
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散.
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例4.
解:
求
的无穷间断点,
故 I 为反常
积分.
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无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.
二、无界函数反常积分的审敛法
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由定义
例如
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数
的反常积分中来.