计算二重极限的几种方法00.doc

文档介绍：第 18 卷第 6 期
上饶师专学报
V o l. 18, N o. 6
1998 年 12 月 JOU RN A L O F SHA N GRA O T EA CH ER S COL L E GE D ec. 1998
Ξ
计算二重极限的几种方法
高炳宋
(上饶师专数学系, 上饶, 334001)
摘要利用函数连续性和极限的运算法则, 归纳了二重极限的几种计算方法。
关键词二重极限; 累次极限; 无穷小
分类号 O 174
1 利用函数连续性
定理 1 设二元函数 z = f (x , y ) 于点 P 0 (x 0 , y 0 ) 连续, 则 lim f (x , y ) = f (x 0 , y 0 )。
x →x 0
y →y 0
y )
例 1 求lim ln (x + l
, ( l> 0)。
x →1
y →0
x 2 + y 2
解由于 ln (x + ly ) 及 x 2 + y 2 于点(1, 0) 连续, 且 12 + 02 = 1
y
故 lim
x →1
y →0
2 利用极限的四则运算
ln (x + l ) = ln ( 1 + 1) = ln 2
x 2 + y 2 1
定理 2 若 lim
(x , y ) →(x 0, y 0)
f (x , y ) = A , lim
(x , y ) →(x 0, y 0 )
g (x , y ) = B
则 lim
(x , y ) →(x 0, y 0)
lim
(x , y ) →(x 0, y 0)
lim
[ f (x , y ) ±g (x , y ) ]= A ±B
f (x , y ) ·g (x , y ) = A ·B
f (x , y ) = A (B ≠0)
(x , y ) →(x 0, y 0) g (x , y ) B
例 2 求lim (x 2 + y 2 ) e- (x + y )
x →∞
y →∞
2 2 2 2
解(x 2 + y 2 ) e- (x + y ) = x + y = x + y
e (x + y )
2 2
ex ey
ex ey
而 lim
 x = lim
x lim
 1 = 0
e e
x →∞ x y y →∞
x →∞ ex
2
y →∞ ey
同理 lim
 y = 0
e e
x →∞ x y y →∞
Ξ收稿日期: 1997- 10- 14
故 lim (x 2 + y 2 ) e- (x + y ) = 0
x →∞
y →∞
x y
例 3 求 lim e co sy
y →0
x →0 1+ x + y
解 lim ex y co sy = lim ex y ·lim co sy = 1
x →0
y →0
x →0
y →0
y →0
而 lim (1 + x + y ) = 1
x →0
y →0
y →0
由定理 2 得 lim
 e x y co sy
= 1
3 利用两边夹法则
x →0 1 + x + y
定理 3 若于点 P 0 (x 0 , y 0 )