文档介绍：平面向量基本定理及向量的坐标表示
基础巩固强化
1.(文)(2011·重庆文)已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,那么a·b的值为( )
[答案] D
[解析] ∵a=(1,k),b=(2,2),
∴a+b=(3,k+2),
∵(a+b)∥a,
∴1·(k+2)=3k,∴k=1,∴a=(1,1),
∴a·b=2+2=4.
(理)(2012·沈阳质检)在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,=λ+μ,则λ+μ的值为( )
A. B.
C.
[答案] A
[解析] ,可得==λ+μ,整理得=2λ+2μ,由于点M在直线BC上,故有2λ+2μ=1,即λ+μ=.
2.(文)(2011·蚌埠二中质检)已知点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k的值为( )
A.-2 B.-1
[答案] B
[解析] =(2,3),∵⊥a,
∴2(2k-1)+3×2=0,
∴k=-1,∴选B.
(理)(2012·昆明一中检测)已知向量a=(x,1),b=(2,1),c=(1,y),若a⊥(b-c),则y-x等于( )
D.-1
[答案] B
[解析] ∵b=(2,1),c=(1,y),∴b-c=(1,1-y),∵a⊥(b-c),a=(x,1),∴a·(b-c)=x+(1-y)=0,∴y-x=1.
3.(2011·嘉兴模拟)已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,那么A、B、C三点共线的充要条件为( )
+μ=2 -μ=1
=-1 =1
[答案] D
[解析] ∵与共线,a与b不共线,
∴λμ-1=0,故选D.
4.(2012·湖北省孝感模拟)在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD为( )
[答案] C
[解析] ∵=++=-8a-2b=2,
∴四边形ABCD为梯形.
5.(2011·山东高考调研)已知平行四边形ABCD,点P为四边形内部或者边界上任意一点,向量=x+y,则“0≤x≤,0≤y≤”的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析]
根据平面向量基本定理,点P只要在如图所示的区域AB1C1D1内即可,这个区域的面积是整个四边形面积的×=,故所求的概率是.
,△ABC中,AD=DB,AE=EC,CD与BE交于F,设=a,=b,=xa+yb,则(x,y)为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设=λ,∵E、D分别为AC、AB的中点,
∴=+=-a+b,
=+=(b-a)+λ(a-b)
=a+(1-λ)b,
∵与共线,∴=,∴λ=,
∴=+=b+=b+
=a+b,故x=,y=.
7.(文)(2011·杭州模拟)已知向量a=(sinx,1),b=(cosx,-3),且a∥b,则tanx=________.
[答案] -
[解析] ∵a∥b,∴=,
∴tanx=-.
(理)已知a=(2,-3),b=(sinα,cos2α),α∈,若a∥b,则tanα=________.
[答案] -
[解析] ∵a∥b,∴=,∴2cos2α=-3sinα,
∴2sin2α-3sinα-2=0,
∵|sinα|≤1,∴sinα=-,
∵α∈,∴cosα=,∴tanα=-.
8.(文)(2012·西安五校第二次联考)梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别是CD,AB的中点,设=a,==ma+nb,则=________.
[答案] -4
[解析] =++=-a-b+a=a-b,∴m=,n=-1,∴=-4.
(理)已知e1=(2,1),e2=(2,-1),点P的坐标(x,y)满足方程-y2=1,若=ae1+be2(a,b∈R,O为坐标原点),则a、b满足的一个等式是________.
[答案] 4ab=1
[解析] 因为e1=(2,1),e2=(2,-1),所以=ae1+be2=a(2,1)+b(2,-1)=(2a,a)+(2b,-b)=(2a+2b,a-b).
因为点P的坐标为(x,y),所以=(x,y),
,y满足方程-y2=1,
所以-(a-b)2=1,化简可得4ab=1,
此即为a、b满足的一个等式.
9.(文)(2011·北京朝阳区模拟)如图,在△ABC中,D、E分别是BC、AC的中点,F为AB上一点,且=4,若=