文档介绍：2013年全国各省(市)高考数学(理)
分类汇编(解析几何)
1. (2013年天津卷18题)(本小题满分13分)
设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值.
解(1)设,由,过点且与轴垂直的直线为.
代入椭圆方程得,于是
(2)设点,由得直线的方程为.
由,
,因为,所以
由已知得
2.(2013年重庆卷21题)
如图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点,。
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外。若,求圆的标准方程。
解(1)依题意知点在椭圆上,
则
由椭圆对称性,可设,又设是椭圆上任意一点,则
设,依题意,是椭圆上到的距离最小的点,因此上式当时取最小值,又因为,所以上式当时去最小值,从而,且
因为,且,所以
即,由椭圆方程及
得
从而
故这样的园有两个,其标准方程分别为
.
3.(2013安徽卷18题)(本小题满分12分)
设椭圆的焦点在轴上
(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上。
【解析】(Ⅰ)
.
(Ⅱ) .
由.
所以动点P过定直线.
4.(2013北京卷19题)(本小题共14分)
已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.
(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形面积.
(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
解(1)线段的垂直平分线为,因此,所以菱形面积为
.
(2),则点与点的横坐标相等或互为相反数.
设,则为园与椭圆的交点.
.
5.(2013福建卷18题)(本小题满分13分)
如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,,分点分别记为和,连结,过做轴的垂线与交于点.
(1)求证:点都在同一条抛物线上,并求该抛物线的方程;
(2)过点做直线与抛物线交于不同的两点,若与的面积比为,求直线的方程.
解:(Ⅰ)依题意,过且与x轴垂直的直线方程为
,直线的方程为
设坐标为,由得:,即,
都在同一条抛物线上,且抛物线方程为
(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为
由得
此时,直线与抛物线恒有两个不同的交点
设:,则
又,
分别带入,解得
直线的方程为,即或
6.(2013广东卷20题).(本小题满分14分)
已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(Ⅰ) 求抛物线的方程;
(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.
【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,
解得.
所以抛物线的方程为.
(Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得
设,(其中),则切线的斜率分别为,,
所以切线的方程为,即,即
同理可得切线的方程为
因为切线均过点,所以,
所以为方程的两组解.
所以直线的方程为.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知,,
所以
联立方程,消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得,
所以
又点在直线上,所以,
所以
所以当时, 取得最小值,且最小值为.
7.(2013广西卷21题).(本小题满分12分)
已知双曲线离心率为直线
(I)求;
(II)
证明: 成等比数列.
解(1)依题意
所以双曲线的方程为
将代入上式得,
依题意知
(2)由(1)知的方程为……①
①化简整理得
设,则
于是
由于
故
所以,即成等比数列
8.(2013全国新课标二卷20题)(本小题满分12分)
平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:()右焦点的直线交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为(Ι)求M的方程
(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值
解(1)设则……①……②
①-②得
设因为P为AB的中点,且
又,所以
所以的方程为.
(2)因为,直线的方程为,所以设直线的方程为,,则又因为所以,当时, 取得最大值4,所以四边形面积的最大值