文档介绍：极限与数学归纳法
第 I 卷
一选择题(每小题5分,共60分)
1 某个命题与正整数有关,若时该命题成立,那么可推得时该命题也成立,现已知时,该命题不成立,则可以推得( )
A 时该命题成立 B 时该命题不成立
C 时该命题成立 D 时该命题不成立
2 下面四个命题中:
(1)若是等差数列,则的极限不存在;
(2)已知,当时,数列的极限为1或-1。
(3)已知,则。
(4)若,则,数列的极限是0。
其中真命题个数为( )
A 1 B 2 C 3 D 4
3 如果存在,则的取值范围是( )
A B C D
4 已知,那么数列在区间为任意小的正数)外的项有( )
A 有限多项 B 无限多项
C 0 D 有可能有限多项也可能无限多项
5 下列数列中存在极限的是( )
A B C D
6 ( )
A 1 B C D 2
7 ( )
A 1 B C D
8 已知,其中,则实数的取值范围是( )
A B C D
9 在等比数列中,且前项的和为切满足,则的取值范围是( )
A B C D
10 ( )
A 4 B 8 C D
11 已知等比数列的公比为,则有,则首项的取值范围是( )
A B
C D
已知定义在上的函数同时满足条件:①;②且③当时。若的反函数是,则不等式的解集为
( )
A B C D
第 II 卷
二填空题
13 若,则____________
14 已知函数,若存在,则的值为_________,
15 设常数,展开式中的系数为,则_____。
16已知抛物线与轴交于点A,将线段OA的等分点从坐到右依次记为,过这些分点分别作轴的垂线,与抛物线的交点依次是,从而得到个直角三角形,当时,这些三角形的面积之和的极限为_________
三解答题
17 已知函数在处连续,求实数的值。
18 已知是首项为1,公差为的等差数列,其前项和为;是首项为1,公为的等比数列,其前项和为,设,若,
求实数和的值。
19 已知数列的通项公式为,记。
(1)写出数列的前四项。
(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明。
(3)令,求。
20 已知数列中,其前项和为,且满足。
(1)求数列的通项公式。
(2)若数列满足,为前项和,若,求实数的值。
21 若不等式对一切正整数都成立,求正整数的最大值,并证明你的结论。
22 已知数列,与函数满足条件:。
(1)若,且存在,求实数的取值范围,并用表示。
(2)若函数为上的函数,,试证明对任意的。
参考答案
1 D 解析:由已可知,该命题满足数学归纳法定义,即存在某自然数,当时,对所有均成立,而时,命题不成立,是针对命题不成立中的有限项,显然针对时,
命题不会成立。,故选D。
2 A 解析:若为常数列,可知(1)为假命题;而由极限存在的唯一性,可知(2)也为假命题;对于(3)满足极限定义可知是正确的;对于(4),由于与极限定义矛盾,应该趋于该数时的项,即不为0,故(4)也为假命题。故选A。
3 D 解析:当时,极限显然不存在,而时,可得为常数数列存在极限,时,为摆动数列,极限不存在,故选D。
4 B解析:由,存在自然数,当时,无限趋于,而数列在区间为任意小的正数),即所有趋于的项应该有无数多项,选B。
5 D解析:容易知道A应该为项为0和2的摆动数列,不存在极限;B为包含三个项1,0,-1循环出现的数列,不存在极限;C一定不存在极限;而D中为两个特征列,而时,故极限存在,故选D。
6 C解析:
,选C。
7 C解析:
故有,选C。
8 C解析:当时,而当时, ,故选C。
9 D解析:
,故选D。
10 C 解析:原式=,选C。
11 D 解析:由可知或,故知D符合题意。
12 C 解析:由反函数定义可知,而,故函数是上的增函数,故有也是定义域上的增函数,由可知C符合题意。
13 解析:
14 解析:,
故易得
15 解析:,由由,所以,所以为1。
16 解析: 可分别表示各个三角形的面积后再求。,
, =,故
17解析:因为在处连续,则存在,即存在且相等,存在,则中必定含有因式。即是方程的根,故有,①则,
同样存在, 则含有因式,则即是方程的根,即有,②故有,故有,③,故有,再由,故有。
18解析:由题可知,,故有
,故
,故有
,并项整理可得
,由极限定义,必有
19解析:(1)由,可得,于是有
(2)可猜测,现在用数学归纳法证明之。
①当时,由于归纳已经证明符合猜测。
②假设时,猜